(FGV-17)
Determinar a soma dos 20 primeiros termos da sequência ( a_{1}, a_{2} \ldots, a_{n}, \ldots ) definida por: a_{n}=2+4 n se n é impar e a_{n}=4+6 n se n é par.

Passo 1

O enunciado define a sequência (a_n) por partes:
– Se n é ímpar, então
a_n = 2 + 4n.
– Se n é par, então
a_n = 4 + 6n.
Queremos a soma dos primeiros 20 termos, isto é,
S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n.

Passo 2

Observe que entre os 20 primeiros índices há exatamente 10 ímpares e 10 pares. Vamos separar
S_{20} = \sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{20}a_n \;+\;\sum_{\substack{n=1\n\text{ par}}}^{20}a_n.
Para lidar com isso, introduzimos um índice k que vai de 1 a 10:
– Para os termos ímpares, escrevemos n=2k-1.
– Para os termos pares, escrevemos n=2k.

Passo 3

Nos termos ímpares n=2k-1, temos
a_{2k-1} = 2 + 4(2k-1) = 2 + 8k - 4 = 8k - 2.
Então a soma dos ímpares é
S_{\text{ímpar}} = \sum_{k=1}^{10} (8k - 2).í
Como \sum_{k=1}^{10}k = \tfrac{10\cdot 11}{2}=55, segue
S_{\text{ímpar}} = 8\sum_{k=1}^{10}k \;-\;2\cdot 10 = 8\cdot 55 - 20 = 440 - 20 = 420.í

Passo 4

Nos termos pares n=2k, temos
a_{2k} = 4 + 6(2k) = 4 + 12k = 12k + 4.
Portanto a soma dos pares é
S_{\text{par}} = \sum_{k=1}^{10} (12k + 4).
De novo \sum_{k=1}^{10}k = 55, então
S_{\text{par}} = 12\sum_{k=1}^{10}k \;+\;4\cdot 10 = 12\cdot 55 + 40 = 660 + 40 = 700.

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
S_{20} = S_{\text{ímpar}} + S_{\text{par}} = 420 + 700 = 1120.í

Resposta

1120

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