(Fuvest-97) Do conjunto de todos os números naturais n, n \leq 200, retiram-se os múltiplos de 5 e , em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.

Passo 1

O enunciado pede para tomar o conjunto \{1,2,\dots,200\}, retirar todos os múltiplos de 5 e depois todos os múltiplos de 6 que ainda restam, e por fim calcular a soma dos números que permanecem. O que vamos usar:
  • Fórmula da soma dos n primeiros naturais: \sum_{k=1}^{n}k=\tfrac{n(n+1)}{2}.
  • Soma de termos de uma progressão aritmética.
  • Princípio da inclusão-exclusão para somar conjuntos.

Passo 2

Calcular a soma de todos os naturais de 1 a 200:
S_{\text{total}}=\sum_{n=1}^{200}n=\frac{200\cdot201}{2}=20100.

Passo 3

Calcular a soma dos múltiplos de 5 até 200. Há \lfloor200/5\rfloor=40 termos, que formam progressão aritmética 5,10,\dots,200.
S_{5}=5\sum_{k=1}^{40}k=5\cdot\frac{40\cdot41}{2}=5\cdot820=4100.

Passo 4

Calcular a soma dos múltiplos de 6 até 200. Há \lfloor200/6\rfloor=33 termos, formando 6,12,\dots,198.
S_{6}=6\sum_{k=1}^{33}k=6\cdot\frac{33\cdot34}{2}=6\cdot561=3366.

Passo 5

Os números que são múltiplos de 5 e de 6 ao mesmo tempo são exatamente os múltiplos de \mathrm{mcm}(5,6)=30. Há \lfloor200/30\rfloor=6 termos:
S_{30}=30\sum_{k=1}^{6}k=30\cdot\frac{6\cdot7}{2}=30\cdot21=630.

Passo 6

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a soma de todos os números que serão removidos (múltiplos de 5 ou de 6) é
S_{\text{removidos}}=S_{5}+S_{6}-S_{30}=4100+3366-630=6836.

Passo 7

Logo, a soma dos números que permanecem é
S_{\text{restantes}}=S_{\text{total}}-S_{\text{removidos}}=20100-6836=13264.

Resposta

13264

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