(Fuvest-97) Do conjunto de todos os números naturais
, retiram-se os múltiplos de 5 e , em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.
Passo 1
O enunciado pede para tomar o conjunto
, retirar todos os múltiplos de 5 e depois todos os múltiplos de 6 que ainda restam, e por fim calcular a soma dos números que permanecem. O que vamos usar:
- Fórmula da soma dos
primeiros naturais: . - Soma de termos de uma progressão aritmética.
- Princípio da inclusão-exclusão para somar conjuntos.
Passo 2
Calcular a soma de todos os naturais de 1 a 200:
Passo 3
Calcular a soma dos múltiplos de 5 até 200. Há
termos, que formam progressão aritmética
.
Passo 4
Calcular a soma dos múltiplos de 6 até 200. Há
termos, formando
.
Passo 5
Os números que são múltiplos de 5 e de 6 ao mesmo tempo são exatamente os múltiplos de
. Há
termos:
Passo 6
Pelo princípio da inclusão-exclusão, a soma de todos os números que serão removidos (múltiplos de 5 ou de 6) é
Passo 7
Logo, a soma dos números que permanecem é
Resposta
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