(FGV-04) Com relação à matriz A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & -1\end{array}\right], a opção correta é:
a) A^{24}=I_{2}, sendo I_{2} a matriz identidade de ordem 2 .
b) A^{32}=I_{2}, sendo I_{2} a matriz identidade de ordem 2 .
c) \mathrm{A}^{21}=\mathrm{A}
d) A^{21}=A^{2}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & -1\end{pmatrix}
e pede qual das afirmações sobre potências de A é verdadeira. O conteúdo envolve polinômio característico, polinômio mínimo e uso do Teorema de Cayley–Hamilton para determinar A^n.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I_2) = \det\begin{pmatrix}-\lambda & 1 \\\\ -1 & -1-\lambda\end{pmatrix} = (-\lambda)(-1-\lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 + \lambda + 1.

Passo 3

Como o polinômio característico \lambda^2+\lambda+1 é irreduzível real de grau 2, ele é também o polinômio mínimo de A. Pela relação de Cayley–Hamilton segue
A^2 + A + I_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^2 = -A - I_2.
Multiplicando por A obtemos
A^3 = A(A^2) = A(-A - I_2) = -A^2 - A = -(-A - I_2) - A = I_2.

Passo 4

Daí em diante, para qualquer n\in\mathbb{N} vale
A^n = A^{3k + r} = (A^3)^k\,A^r = I_2^k\,A^r = A^r,
onde r = n \bmod 3. Logo:
  • 24 \bmod 3 = 0 \Rightarrow A^{24} = A^0 = I_2.
  • 32 \bmod 3 = 2 \Rightarrow A^{32} = A^2.
  • 21 \bmod 3 = 0 \Rightarrow A^{21} = I_2.

Passo 5

Comparando com as opções:
(a) diz A^{24}=I_2, que está de acordo.
(b) diz A^{32}=I_2, mas na verdade A^{32}=A^2.
(c) e (d) atribuiriam a A^{21} valores diferentes de I_2, e portanto estão erradas.

Resposta

a) A^{24} = I_{2}.

Exercícios de Livros Relacionados