(FGV-SP) O salário líquido do sr. Ernesto é R$3000,00 por mês. Todo mês ele poupa 10% de seu salário líquido e aplica essa poupança num fundo que rende juros compostos, à taxa de ao mês.
a) Qual seu saldo no fundo, no dia em que fez o segundo depósito?
b) Quantos depósitos deverá fazer para ter um saldo de R$ 7289,00 no dia do último depósito?

Passo 1

O problema diz que o sr. Ernesto ganha R$ 3000,00 por mês e poupa 10% desse valor todo mês, aplicando no fundo que rende juros compostos de 2% ao mês. Para resolver, vamos precisar:
  • calcular o valor do depósito mensal A,
  • usar a taxa de juros mensal i=2%=0,02,
  • aplicar a fórmula da soma de uma série de depósitos em juros compostos.

Passo 2

O depósito mensal A é 10% de R$ 3000,00, ou seja,
A = 0,10 times 3000,00 = 300,00reais
A taxa de juros mensal é
i = 2% = 0,02

Passo 3

No dia em que faz o segundo depósito, o primeiro depósito já rendeu um mês de juros e em seguida ele recolhe o segundo. Logo, o saldo é
S2 = A,(1+i) + A
Substituindo A=300 e i=0,02:
S2 = 300 times 1,02 + 300 = 306 + 300 = 606reais

Passo 4

De modo geral, após N depósitos feitos um por mês no final de cada mês, o saldo no dia do N-ésimo depósito é
SN = A;(1+i)^N - 1i

Passo 5

Queremos SN = 7289. Então
7289 = 300;(1,02)^N - 10,02 Longrightarrow (1,02)^N = 1 + 7289 times 0,02300 = 1 + 0,4859333 = 1,4859333
Tomando logaritmo:
N = ln(1,4859333)ln(1,02)approx 20,03
Como N deve ser inteiro e o saldo só aumenta com mais depósitos, são necessários N=20 depósitos para atingir pelo menos R$ 7289,00.

Resposta

a) R$,606,00
b) 20 depósitos.

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