(FGV-SP) Sendo i=raiz-1 a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão (1+i)^6-(1-i)^6 é:
a) 0
b) 16
c) -16
d) 16 i
e) -16 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular (1+i)^6 - (1-i)^6. O conteúdo é potenciação de número complexo; vamos usar a forma polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Representamos 1+i em coordenadas polares. Sua magnitude é
r = |1+i| = raiz1^2+1^2 = raiz2,
e seu argumento é
phi = arg(1+i) = arctan!l(tfrac11r) = tfracpi4
Logo
1+i = raiz2l(costfracpi4+isintfracpi4r)
Pela fórmula de De Moivre,
(1+i)^6 = l(raiz2r)^6 l[cosl(6cdottfracpi4r)+isinl(6cdottfracpi4r)r]
Como l(raiz2r)^6=2^3=8 e 6cdottfracpi4=tfrac3pi2, temos
(1+i)^6 = 8l[costfrac3pi2+isintfrac3pi2r] = 8l[0 + icdot(-1)r] = -8i

Passo 3

Analogamente, escrevemos
1 - i = raiz2l(cos(-tfracpi4)+isin(-tfracpi4)r),
logo
(1-i)^6 = l(raiz2r)^6 l[cosl(6cdot(-tfracpi4)r)+isinl(6cdot(-tfracpi4)r)r]
Temos de novo l(raiz2r)^6=8 e
6cdotl(-tfracpi4r) = -tfrac3pi2,
mas cos(-tfrac3pi2)=0 e sin(-tfrac3pi2)=1, de modo que
(1-i)^6 = 8l[0 + icdot 1r] = 8i

Passo 4

Subtraindo os dois resultados:
(1+i)^6 - (1-i)^6 = (-8i) - (8i) = -16i

Resposta

-16i

Exercícios de Livros Relacionados