(FGV-19) Um sistema linear com duas equações e três incógnitas
a) é sempre indeterminado.
b) pode ter solução única.
c) admite sempre a solução trivial.
d) pode ser impossivel.
e) pode apresentar determinante da matriz completa igual a 0 .
a) é sempre indeterminado.
b) pode ter solução única.
c) admite sempre a solução trivial.
d) pode ser impossivel.
e) pode apresentar determinante da matriz completa igual a 0 .
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas. O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares segundo número de soluções (nenhuma, única ou infinitas). Para resolver, vamos usar conceitos de posto (rank) da matriz de coeficientes e a existência de determinantes apenas para matrizes quadradas.
Passo 2
Para ter solução única num sistema linear homogêneo ou não, é preciso que o número de equações seja maior ou igual ao número de incógnitas e que o posto seja igual a esse número de incógnitas. Como aqui temos
equações e
incógnitas, o posto máximo da matriz de coeficientes é
, que é menor que
. Logo, mesmo que seja consistente, não há como ficar com grau de liberdade zero, então não pode ter solução única.
Um sistema com menos equações que incógnitas e que seja consistente fica com grau de liberdade , ou seja, gera sempre infinitas soluções. Mas isso só vale se for consistente; portanto, não está garantido que seja “sempre” indeterminado, pois pode falhar a consistência.
Um sistema com menos equações que incógnitas e que seja consistente fica com grau de liberdade
Passo 3
“Admitir sempre a solução trivial” quer dizer que o vetor nulo é sempre solução. Isso ocorre se o sistema for homogêneo (todos os termos independentes iguais a zero). Como o enunciado fala em sistema qualquer, pode ter termos independentes diferentes de zero, e então o vetor nulo pode não satisfazer as equações. Logo, também não admite trivial sempre.
Um sistema de duas equações em três incógnitas pode perfeitamente ser inconsistente (por exemplo, dois planos paralelos sem interseção no ). Nesse caso não há solução alguma, ou seja, pode ser impossível.
Um sistema de duas equações em três incógnitas pode perfeitamente ser inconsistente (por exemplo, dois planos paralelos sem interseção no
Passo 4
Determinante só faz sentido para matrizes quadradas. A matriz de coeficientes aqui é
e a matriz completa (coeficientes mais termos independentes) é
; nenhuma das duas é quadrada, portanto não se calcula determinante. A alternativa que fala em determinante da matriz completa igual a zero está fora de contexto.
Resposta
(d) pode ser impossível.