(Unicamp-00) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo:
\left\{\begin{array}{l} \lambda x+y+z=\lambda+2 \\\ x+\lambda y+z=\lambda+2 \\\ x+y+\lambda z=\lambda+2 \end{array}\right.
a) Ache as raizes da equação: \operatorname{det} \mathbf{A}=\mathbf{0}. b) Ache a solução geral desse sistema para \lambda=-2.

Passo 1

O enunciado dá o sistema paramétrico
\begin{cases} \lambda x + y + z = \lambda + 2,\\\ x + \lambda y + z = \lambda + 2,\\\ x + y + \lambda z = \lambda + 2, \end{cases}
cuja matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1\\\\ 1 & \lambda & 1\\\\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}.
Precisamos (a) encontrar os valores de \lambda tais que \det(A)=0 e (b) para \lambda=-2 achar a solução geral do sistema.

Passo 2

Para calcular \det(A) note que A tem todos os elementos da diagonal iguais a \lambda e todos os fora da diagonal iguais a 1. Há uma fórmula padrão para esse caso:
\det(A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2).

Passo 3

Impondo \det(A)=0 obtemos
(\lambda - 1)^2(\lambda + 2)=0
logo as raízes são
\lambda = 1\quad(\text{multiplicidade }2) \quad\text{e}\quad \lambda = -2\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Para \lambda=-2 o vetor de termos independentes fica \lambda+2=0, e o sistema torna-se homogêneo
\begin{cases} -2x + y + z = 0,\\\ x - 2y + z = 0,\\\ x + y - 2z = 0. \end{cases}
Precisamos achar o núcleo de
A\Big|_{\lambda=-2} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Das primeiras duas equações:
-2x + y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad y+z=2x,
x - 2y + z = 0 \quad\Rightarrow\quad x + z = 2y.
Da primeira tiramos y=2x-z. Substituindo na segunda:
x + z = 2(2x-z) \quad\Rightarrow\quad x + z = 4x - 2z \quad\Rightarrow\quad 3z = 3x \quad\Rightarrow\quad z = x.
Então y = 2x - x = x. A terceira equação
x + y - 2z = x + x - 2x = 0
confirma. Logo o espaço de soluções é gerado por (1,1,1).

Resposta

a) As raízes de \det(A)=0 são \lambda=1 (multiplicidade 2) e \lambda=-2.
b) Para \lambda=-2, a solução geral é
(x,y,z) = t\,(1,1,1),
com t\in\mathbb{R}.

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