83 A função f definida por f(x)=2^{x} para todo número real x é uma função par, ímpar, ou nenhuma das duas?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2^x
para todo x\in\mathbb{R} e pergunta se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. O conteúdo aqui é a definição de função par e função ímpar, e vamos precisar usar a propriedade de expoentes para avaliar f(-x).

Passo 2

Lembrando as definições:
f é par se, para todo x,
f(-x)=f(x).
f é ímpar se, para todo x,
f(-x)=-f(x).
Vamos primeiro calcular
f(-x)=2^{-x}=\frac{1}{2^x}.

Passo 3

Verificação da condição de par: testar se
f(-x)=f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2^x}=2^x.
Isolando, teríamos
2^{2x}=1\quad\Longleftrightarrow\quad 2x=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=0.
Isso vale apenas em x=0, não para todo x. Portanto f não é par.

Passo 4

Verificação da condição de ímpar: testar se
f(-x)=-f(x)\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2^x}=-2^x.
O lado esquerdo é sempre positivo e o direito sempre negativo, então essa igualdade não pode ocorrer para nenhum x. Logo f não é ímpar.

Passo 5

Como não satisfaz nem a condição de par nem a de ímpar para todos os x, concluímos que a função não é nem par nem ímpar.

Resposta

A função f(x)=2^x não é nem par nem ímpar.

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