A função da demanda de certo artigo produzido por uma empresa é dada, implicitamente, por 0.002 x+p-200=0, sendo p o preço unitário e x o número de unidades produzidas em uma semana. Sabendo que a empresa aumenta a produção de um artigo à taxa de 100 unidades por semana, calcule a taxa de variação da receita em relação ao tempo, quando a produção semanal é de 3000 unidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de demanda de um produto de forma implícita
0.002,x + p - 200 = 0
onde p é o preço unitário e x é a quantidade produzida por semana. A receita semanal é R = p,x. Precisamos calcular a taxa de variação dfracdRdt quando x=3000 e dado que dfracdxdt=100.

Passo 2

Isolamos o preço p em função de x usando a demanda implícita:
0.002,x + p - 200 = 0 Longrightarrow p = 200 - 0.002,x

Passo 3

Expressamos a receita R como função de x:
R(x) = p,x = l(200 - 0.002,xr),x = 200,x - 0.002,x^2

Passo 4

Derivamos R em relação a x e aplicamos a regra da cadeia:
dRdx = 200 - 0.004,x, dRdt = dRdx,dxdt

Passo 5

Substituímos x=3000 e dfracdxdt=100:
dRdt = l(200 - 0.004cdot3000r)times100 = (200 - 12)times100 = 188times100 = 18800

Resposta

dRdt = 18800
(unidades monetárias por semana)

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