O que é uma função? Dê exemplos. Como você traça o gráfico de uma função com valores reais cujo domínio e imagem são números reais? O que é uma função crescente? E uma função decrescente?

Passo 1

O enunciado nos pede para entender o conceito de função entre conjuntos, dar exemplos práticos, explicar como traçar o gráfico de uma função real f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e, finalmente, definir o que significa uma função ser crescente ou decrescente.

Passo 2

Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A (o domínio) exatamente um elemento de um conjunto B (o contradomínio). Escrevemos
f\colon A \to B
e dizemos que, para cada x\in A, existe um único y\in B tal que y=f(x).

Passo 3

Alguns exemplos de funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}:
  • A função identidade f(x)=x.
  • A função afim f(x)=2x+1.
  • A função quadrática f(x)=x^2.
  • A função trigonométrica f(x)=\sin(x).

Passo 4

Para traçar o gráfico de uma função f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}:
1. Desenhe dois eixos perpendiculares no plano, eixo horizontal \,x e eixo vertical \,y.
2. Escolha vários valores de x no domínio e calcule y=f(x).
3. Marque no plano cada ponto \bigl(x,f(x)\bigr).
4. Una esses pontos, respeitando a forma suave ou reta da função. O conjunto de todos esses pares é o gráfico de f.

Passo 5

Uma função f é chamada de crescente (ou monótona não decrescente) em um intervalo I\subseteq\mathbb{R} se, para quaisquer x_1,x_2\in I tais que x_1<x_2, tivermos
f(x_1)\le f(x_2).
Se existirem sempre desigualdade estrita f(x_1)<f(x_2) quando x_1<x_2, dizemos que f é estritamente crescente.

Passo 6

Analogamente, f é decrescente (ou monótona não crescente) em I se, para quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2, valer
f(x_1)\ge f(x_2).
Se houver sempre f(x_1)>f(x_2) quando x_1<x_2, então f é estritamente decrescente.

Resposta

1. Uma função f\colon A\to B associa a cada x\in A um único y\in B via regra y=f(x).
2. Exemplos em \mathbb{R}: \,f(x)=x, \,f(x)=2x+1, \,f(x)=x^2, \,f(x)=\sin(x).
3. Para traçar o gráfico de f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}: desenhe os eixos, calcule vários f(x), marque os pontos (x,f(x)) e una-os respeitando a forma da função.
4. f é crescente em I se x_1<x_2 implica f(x_1)\le f(x_2) (estritamente crescente se \,<).
5. f é decrescente em I se x_1<x_2 implica f(x_1)\ge f(x_2) (estritamente decrescente se >).

Exercícios de Livros Relacionados