(Fuvest-97) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é:
a) 6
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24
a) 6
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24
Passo 1
O enunciado pede o menor
,
, tal que o produto
seja um cubo perfeito. Para resolver, vamos usar fatoração prima e a condição de que todo número é cubo perfeito se, e somente se, todos os expoentes em sua fatoração prima são múltiplos de 3.
Passo 2
Fatoramos
em primos, dividindo sucessivamente por 2 e 3:
Passo 3
Para que
seja cubo perfeito, os expoentes de 2 e de 3 na fatoração de
devem ser múltiplos de 3. Atualmente temos:
- expoente de 2 igual a 4 (falta
para chegar a 6), - expoente de 3 igual a 5 (falta
para chegar a 6).
Passo 4
Logo, o menor
deve suprir exatamente esses fatores faltantes:
Resposta
12