(Fuvest-97) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3888 por n um cubo perfeito é:
a) 6
b) 12
c) 15
d) 18
e) 24

Passo 1

O enunciado pede o menor ninN, nneq0, tal que o produto 3888cdot n seja um cubo perfeito. Para resolver, vamos usar fatoração prima e a condição de que todo número é cubo perfeito se, e somente se, todos os expoentes em sua fatoração prima são múltiplos de 3.

Passo 2

Fatoramos 3888 em primos, dividindo sucessivamente por 2 e 3:
3888 = 2^4 times 3^5

Passo 3

Para que 3888cdot n seja cubo perfeito, os expoentes de 2 e de 3 na fatoração de 3888cdot n devem ser múltiplos de 3. Atualmente temos:
  • expoente de 2 igual a 4 (falta 2 para chegar a 6),
  • expoente de 3 igual a 5 (falta 1 para chegar a 6).

Passo 4

Logo, o menor n deve suprir exatamente esses fatores faltantes:
n = 2^2 times 3^1 = 4 times 3 = 12

Resposta

12

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