Demonstrar que, se
é um inteiro composto, então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sempre que
é composto, a soma dos seus divisores positivos, que denotamos por
, satisfaz
Esse resultado usa apenas a definição de número composto e a existência de divisores próprios diferentes de
e de
.
Passo 2
Como
é composto, existe um divisor
tal que
Definimos então
de modo que
e
são divisores de
com
(pois
).
Passo 3
Da desigualdade
segue
Em particular, se
não é quadrado perfeito então
, e se
é quadrado perfeito então
.
Passo 4
A soma dos divisores de
inclui pelo menos os termos
,
,
e
. Logo
Como
e
, temos
independente de
ser quadrado perfeito ou não.
Passo 5
Portanto, concluímos que sempre que
é composto,
Resposta
Foi demonstrado que, para todo inteiro composto
, vale