Demonstrar que, se n>1 é um inteiro composto, então s(n)>n+raizn.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sempre que n>1 é composto, a soma dos seus divisores positivos, que denotamos por s(n), satisfaz
s(n)>n+raizn
Esse resultado usa apenas a definição de número composto e a existência de divisores próprios diferentes de 1 e de n.

Passo 2

Como n é composto, existe um divisor a tal que
1 < a < n
Definimos então
b = na,
de modo que a e b são divisores de n com a<= b (pois acdot b=n).

Passo 3

Da desigualdade a<= b segue
a^2 <= ab = n Longrightarrow a <= raizn <= b
Em particular, se n não é quadrado perfeito então a<raizn<b, e se n é quadrado perfeito então a=b=raizn.

Passo 4

A soma dos divisores de n inclui pelo menos os termos 1, a, b e n. Logo
s(n);>=;1 + a + b + n
Como raizn<= b e 1+a>0, temos
1 + a + b + n > n + raizn,
independente de n ser quadrado perfeito ou não.

Passo 5

Portanto, concluímos que sempre que n>1 é composto,
s(n)>n+raizn

Resposta

Foi demonstrado que, para todo inteiro composto n>1, vale
s(n)>n+raizn

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