(UECE-2004) Sejam n1, n2, n3, n4, n5 e n6 os seis números naturais divisores de 28. A soma 1n1+1n2+1n3+1n4+1n5+1n6 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma dos recíprocos de todos os divisores naturais de 28, ou seja, avaliar
sumi=1^61ni,
onde n1,n2,dots,n6 são os seis divisores de 28. Vamos usar a fatoração de 28 e a propriedade de que cada divisor d vem acompanhado de 28/d.

Passo 2

Fatorando 28, temos
28 = 2^2 times 7
Os divisores naturais de 28 são todos os produtos 2^a 7^b com 0<= a<=2 e 0<= b<=1. Assim os divisores são
1,;2,;4,;7,;14,;28

Passo 3

Vamos somar os recíprocos
11+12+14+17+114+128
Agrupando os seis termos em três pares cujos produtos são 28:
11+128=28+128=2928, 12+114=7+114=814=47, 14+17=7+428=1128

Passo 4

Somando as três frações obtidas com denominador 28:
2928+47+1128 =2928+1628+1128 =29+16+1128 =5628 =2

Resposta

b) 2

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