(Fuvest-SP) O segmento AB é lado de um hexágono regular de área raiz3. o ponto P pertence à mediatriz de AB de tal modo que a área do triângulo PAB vale raiz2. Então, a distância de P ao segmento AB é igual a:
a) raiz2
b) 2 raiz2
c) 3 raiz2
d) raiz3
e) 2 raiz3

Passo 1

O enunciado dá um hexágono regular de área raiz3 cujo lado é AB. Em seguida, um ponto P na mediatriz de AB faz com que a área do triângulo PAB seja raiz2. Precisamos achar a distância de P ao segmento AB, que é precisamente a altura do triângulo em relação à base AB.

Passo 2

Seja s o comprimento do lado do hexágono (logo, s=|AB|). A área de um hexágono regular de lado s é
3raiz32,s^2 = raiz3
Dividindo os dois lados por raiz3 e multiplicando por 2 vem
3,s^2 = 2 Longrightarrow s^2 = 23 Longrightarrow s = raiztfrac23

Passo 3

No triângulo PAB, tome a base AB=s e a altura h vinda de P. A área vale
12,s,h = raiz2
Logo
h = 2raiz2s = 2raiz2;g/;raiztfrac23 = 2raiz2;times;raiztfrac32 = 2raiz3

Passo 4

Como P está na mediatriz de AB, o pé da perpendicular de P em AB fica dentro do segmento, de modo que a distância de P ao segmento é justamente h.

Resposta

2raiz3 (alternativa e) )

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