(ITA-SP) Seja
uma circunferência de raio
inscrita num triângulo equilátero de altura
. Seja
uma segunda circunferência, de raio
, que tangencia dois lados do triângulo internamente e
externamente. Calcule
.
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo equilátero de altura
. Nele está inscrita a circunferência
de raio
(a incircle) e, junto a um dos vértices, uma segunda circunferência
de raio
, que tangencia internamente dois lados do triângulo e tangencia externamente
. Vamos usar:
- a fórmula do raio da incircle de um triângulo equilátero,
- o fato de que o centro de qualquer circunferência tangente a dois lados de um ângulo fica sobre a bissetriz desse ângulo,
- e a condição de tangência externa entre
e .
Passo 2
Em um triângulo equilátero de lado
e altura
, o raio da incircle é
Passo 3
Considere o vértice onde surge
. O ângulo interno ali é
. Para uma circunferência de raio
tangente a esses dois lados, seu centro fica na bissetriz desse ângulo, a uma distância
do vértice dada por
Logo, para
tem-se
e para
tem-se
.
Passo 4
A condição de tangência externa entre \mathrm{C}_{2}) é que a distância entre centros seja
. Como os dois centros estão em pontos diferentes da mesma bissetriz, essa distância é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Então
implicam