(ITA-SP) Seja C1 uma circunferência de raio R1 inscrita num triângulo equilátero de altura h. Seja C2 uma segunda circunferência, de raio R2, que tangencia dois lados do triângulo internamente e C1 externamente. Calcule (R1-R2)h.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo equilátero de altura h. Nele está inscrita a circunferência C1 de raio R1 (a incircle) e, junto a um dos vértices, uma segunda circunferência C2 de raio R2, que tangencia internamente dois lados do triângulo e tangencia externamente C1. Vamos usar:
  • a fórmula do raio da incircle de um triângulo equilátero,
  • o fato de que o centro de qualquer circunferência tangente a dois lados de um ângulo fica sobre a bissetriz desse ângulo,
  • e a condição de tangência externa entre C1 e C2.

Passo 2

Em um triângulo equilátero de lado a e altura h=tfracraiz32a, o raio da incircle é
R1 = araiz36 = h3

Passo 3

Considere o vértice onde surge C2. O ângulo interno ali é 60^circ. Para uma circunferência de raio r tangente a esses dois lados, seu centro fica na bissetriz desse ângulo, a uma distância d do vértice dada por
r = dsinl(30^circr) Longrightarrow d = rsin30^circ = 2r
Logo, para C1 tem-se d1=2R1 e para C2 tem-se d2=2R2.

Passo 4

A condição de tangência externa entre \mathrm{C}_{2}) é que a distância entre centros seja . Como os dois centros estão em pontos diferentes da mesma bissetriz, essa distância é
Substituindo e , obtemos

Passo 5

Então
R1-R2 =R1-R13 =2R13 e R1=h3
implicam
R1-R2 =23,h3 =2h9

Resposta

R1-R2h = 29

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