(UF-CE) Seja gamma uma circunferência de raio 2 cm, AB um diâmetro de gamma e r e s retas tangentes a gamma, respectivamente por A e B. Os pontos P e Q estão respectivamente situados sobre r e s e são tais que PQ também tangencia gamma. Se AP=1 cm, pode-se afirmar corretamente que BQ mede:
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 4,5 cm
d) 8 cm
e) 8,5 cm

Passo 1

Temos uma circunferência gamma de raio 2,cm com centro em O e diâmetro AB. As retas r e s são tangentes a gamma em A e B respectivamente. Os pontos Pin r e Qin s satisfazem AP=1,cm e a reta PQ também tangencia gamma. Queremos achar BQ. Para isso, usaremos geometria analítica: colocaremos a circunferência na origem, obteremos as coordenadas de P e Q, escreveremos a equação de PQ e aplicaremos a condição de tangência (distância do centro à reta igual ao raio).

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas com
O=(0,0), A=(2,0), B=(-2,0)
Como r é a tangente em A, tem equação x=2. Logo
P=(2,y1), AP=|y1-0|=1implies y1=pm1
Tomamos y1=1 sem perda de geralidade, de modo que
P=(2,1)
De forma análoga, scolon x=-2 e
Q=(-2,y2), BQ=|y2|

Passo 3

A reta PQ passa por P=(2,1) e Q=(-2,y2). Seu coeficiente angular é
m=y2-1-2-2=-y2-14
Em forma geral ax+by+c=0, um cálculo direto leva a
(y2-1)x+4y-2y2-2=0

Passo 4

Para que PQ seja tangente a gamma, a distância de O à reta deve ser igual a 2. Assim,
l|-2y2-2r|raiz(y2-1)^2+4^2=2
Elevando ao quadrado e simplificando,
(y2+1)^2=(y2-1)^2+16 Longrightarrow 4y2=16 Longrightarrow y2=4
Portanto BQ=|y2|=4,cm.

Resposta

4 cm

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