Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3,1), quantas trajetórias existem até o ponto B(5,4) ?

Passo 1

O enunciado diz que um homem parte de (0,0) e só anda para norte (N) ou para leste (L). Ele deve passar pelo ponto A(3,1) e terminar em B(5,4). O conteúdo aqui é contagem de caminhos numa grade usando o princípio multiplicativo e a fórmula de combinações para permutar passos.

Passo 2

Para ir de (0,0) até A(3,1) o homem precisa dar exatamente 3 passos para leste e 1 passo para norte, totalizando 4 passos. O número de maneiras de organizar esses passos é dado por
binom41 = 4
(escolher em quais das 4 posições ocorre o passo para norte).

Passo 3

De A(3,1) até B(5,4) ele precisa de 5-3=2 passos para leste e 4-1=3 passos para norte, totalizando 5 passos. O número de caminhos é
binom52 = 10
(escolher em quais das 5 posições ocorrem os 2 passos para leste).

Passo 4

Como o caminho até A e o caminho de A até B são independentes, multiplicamos as quantidades:
4 times 10 = 40

Resposta

40

Exercícios de Livros Relacionados