Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações:
x+y+z+t=10

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas da equação
x + y + z + t = 10
Isso faz parte do conteúdo de contagem em combinatória, mais especificamente do método “estrelas e barras” (stars and bars), que serve para distribuir n objetos idênticos em k caixas.

Passo 2

No método de estrelas e barras, se temos n objetos idênticos (aqui n=10) e queremos distribuí-los em k caixas (aqui k=4, pois são x,y,z,t) com possíveis caixas vazias, o número de distribuições é
binomn + k - 1k - 1

Passo 3

Substituindo n=10 e k=4 na fórmula, obtemos
binom10 + 4 - 14 - 1 = binom133

Passo 4

Para calcular binom133, usamos a definição de coeficiente binomial:
binom133 = 13 cdot 12 cdot 113 cdot 2 cdot 1 = 286

Resposta

286

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