Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações:
x+y+z+t+w=10

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras não negativas da equação
x + y + z + t + w = 10
Aqui o conteúdo é o princípio das estrelas e barras da combinatória, que nos permite contar distribuições de 10 unidades entre 5 variáveis sem restrição de ordem.

Passo 2

O teorema de estrelas e barras diz que o número de soluções em inteiros não negativos de
x1 + x2 + cdots + xk = n
é dado por
binomn + k - 1k - 1,
A ideia é representar as n unidades como “estrelas” e usar k-1 “barras” para separar as k variáveis, totalizando n + k - 1 símbolos dos quais escolhemos k-1 para serem barras.

Passo 3

No nosso caso temos k = 5 variáveis (x,y,z,t,w) e n = 10. Aplicando a fórmula:
binom10 + 5 - 15 - 1 = binom144,

Passo 4

Agora calculamos
binom144 = 14 times 13 times 12 times 114 times 3 times 2 times 1 = 1001

Resposta

1001

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