(IBMEC-2003) Suponha que a quantidade mensal (d) que uma comunidade queira comprar de um determinado produto seja uma função do primeiro grau em termos do preço § do respectivo produto. Considere que nos últimos dois meses os preços praticados foram R$10,00 e R$ 20,00 e que as respectivas quantidades adquiridas pela comunidade foram 180 e 80 unidades do produto. O fabricante desse produto calcula que cada unidade produzida custa-lhe R$2,00, e que o custo fixo operacional mensal é de R$ 690,00 (isto é, independente da quantidade produzida, ele gasta R$ 690,00 para manter sua empresa funcionando).
a) Determine a fórmula que estabelece a função de d em termos de p.
b) Defina a função lucro total mensal (1) do fabricante como a função que, para cada preço p
praticado, associa o resultado da receita total mensal (dada pelo produto do preço pela quantidade) subtraindo o custo total mensal (dado pela soma do custo fixo operacional mensal com o custo de produzir d unidades); e determine a fórmula da função 1 em termos de p.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, encontrar a função de demanda mensal d em função do preço p, sabendo que é uma função afim (primeiro grau) e que (p,d)=(10,180) e (20,80). Depois, montar a função lucro total mensal L(p), definida como
L(p)=receita(p)-custo total(p)
onde a receita é p cdot d(p), o custo total é a soma do custo fixo de R$ (690,00) com o custo variável de R com o custo variável de R$ 2,00 por unidade produzida.

Passo 2

Para determinar a reta de demanda d(p)=mp+b calculamos o coeficiente angular m e o intercepto b.
O coeficiente angular é
m=d2-d1p2-p1 =80-18020-10 =-10010 =-10
Para achar b, usamos um dos pontos, por exemplo (10,180):
180=mcdot10+b ;Longrightarrow; 180=-10cdot10+b ;Longrightarrow; b=180+100=280

Passo 3

Logo, a função demanda é
d(p)=-10p+280

Passo 4

A receita total mensal é
R(p)=pcdot d(p) =pl(-10p+280r) =-10p^2+280p
O custo total mensal é
C(p)=690+2,d(p) =690+2l(-10p+280r) =690-20p+560 =-20p+1250

Passo 5

Finalmente, o lucro é a diferença entre receita e custo:
L(p)=R(p)-C(p) =l(-10p^2+280pr) -l(-20p+1250r) =-10p^2+280p+20p-1250 =-10p^2+300p-1250

Resposta

(a) d(p)=-10p+280
(b) L(p)=-10p^2+300p-1250

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