(IBMEC-2003) Suponha que a quantidade mensal (d) que uma comunidade queira comprar de um determinado produto seja uma função do primeiro grau em termos do preço § do respectivo produto. Considere que nos últimos dois meses os preços praticados foram R$10,00 e R$ 20,00 e que as respectivas quantidades adquiridas pela comunidade foram 180 e 80 unidades do produto. O fabricante desse produto calcula que cada unidade produzida custa-lhe R$2,00, e que o custo fixo operacional mensal é de R$ 690,00 (isto é, independente da quantidade produzida, ele gasta R$ 690,00 para manter sua empresa funcionando).
a) Determine a fórmula que estabelece a função de d em termos de p.
b) Defina a função lucro total mensal (1) do fabricante como a função que, para cada preço p
praticado, associa o resultado da receita total mensal (dada pelo produto do preço pela quantidade) subtraindo o custo total mensal (dado pela soma do custo fixo operacional mensal com o custo de produzir d unidades); e determine a fórmula da função 1 em termos de p.
a) Determine a fórmula que estabelece a função de d em termos de p.
b) Defina a função lucro total mensal (1) do fabricante como a função que, para cada preço p
praticado, associa o resultado da receita total mensal (dada pelo produto do preço pela quantidade) subtraindo o custo total mensal (dado pela soma do custo fixo operacional mensal com o custo de produzir d unidades); e determine a fórmula da função 1 em termos de p.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, encontrar a função de demanda mensal
em função do preço
, sabendo que é uma função afim (primeiro grau) e que
e
. Depois, montar a função lucro total mensal
, definida como
onde a receita é
, o custo total é a soma do custo fixo de R$
com o custo variável de R$
por unidade produzida.
Passo 2
Para determinar a reta de demanda
calculamos o coeficiente angular
e o intercepto
.
O coeficiente angular é
O coeficiente angular é
Para achar
, usamos um dos pontos, por exemplo
:
Passo 3
Logo, a função demanda é
Passo 4
A receita total mensal é
O custo total mensal é
Passo 5
Finalmente, o lucro é a diferença entre receita e custo:
Resposta
(a)
(b)
(b)