Identifique as assíntotas verticais e horizontais da curva de cada função.
f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para identificar as assíntotas verticais e horizontais da função racional
f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}.
O conteúdo envolve análise de domínio (para assíntotas verticais) e limites no infinito (para assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais, investigamos onde o denominador se anula ou onde f(x) explode. O denominador é
x^{2}+1,
que nunca é zero para x\in\mathbb{R}. Logo, o domínio de f é todo \mathbb{R} e não há pontos em que f(x)\to\pm\infty. Portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para determinar a assíntota horizontal, comparamos os graus do numerador e do denominador. Ambos têm grau 2, então existe assíntota horizontal em
y = \frac{\text{coeficiente líder do numerador}}{\text{coeficiente líder do denominador}} = \frac{1}{1}=1.íí
Podemos confirmar calculando
\lim_{x\to+\infty}f(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x),
e em ambos obtemos 1.

Resposta

Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntota horizontal: y=1.

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