(IME-91) Dado o conjunto A=\{1,2,3, \ldots, 102\}, pede-se o número de subconjuntos de A, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três.
Soluçāo:
Vamos dividir os elementos do conjunto A em três outros conjuntos de acordo com o seu resto na divisão por 3:
A_{10}=\{3,6,9, \ldots, 102\} ; \quad A_{1}=\{1,4,7, \ldots, 100\} ; \quad A_{2}=\{2,5,8, \ldots, 101\}
A_{0} é o conjunto formado pelos elementos de A que deixam resto 0 na divisão por 3 , A_{1} é formado pelos que deixam resto 1 e A_{2} é formado pelos que deixam resto 2 .
Observemos as quantidades de elementos de cada conjunto: n\left(A_{0}\right)=34 ; n\left(A_{1}\right)=34; n\left(A_{2}\right)=34.
Para que a soma de 3 números inteiros seja múltiplo de 3 temos duas situações:
i) os 3 números deixam o mesmo resto na divisão por 3:
Assim, devemos escolher 3 números que deixam resto 0 na divisão por 3 ou 3 números que deixam resto 1 na divisão por 3 ou 3 números que deixam resto 2 na divisão por 3.
'emos, portanto, \mathrm{C}_{34.3}+\mathrm{C}_{34.3}+\mathrm{C}_{34.3}=3 . \mathrm{C}_{34.3}.
i) cada um dos 3 números deixam um resto diferente na divisão por 3:
Jeste caso, devemos escolher um dos 34 elementos de A_{0}, um dos 34 elementos de
A_{1} e um dos 34 elementos de A_{2}. Consequentemente, existem 34.34.34 =34^{3} possibilidades.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A = \{1,2,3,\dots,102\}
e pede o número de subconjuntos de A com três elementos cuja soma seja múltiplo de 3.
Conteúdo: combinatória e classes de resto na divisão por 3.

Passo 2

Classificamos os elementos de A segundo seu resto em \bmod 3:
A_{0}=\{x\in A\mid x\equiv0\pmod3\},\quad A_{1}=\{x\in A\mid x\equiv1\pmod3\},\quad A_{2}=\{x\in A\mid x\equiv2\pmod3\}.
Como 102/3=34, cada classe tem
n(A_{0})=n(A_{1})=n(A_{2})=34.

Passo 3

Para que a soma de três elementos seja múltiplo de 3, há duas situações:
(i) Os três elementos têm o mesmo resto em \bmod3.
Nesse caso, escolhemos 3 de A_{0} ou 3 de A_{1} ou 3 de A_{2}, totalizando
3\binom{34}{3}.

Passo 4

(ii) Os três elementos vêm de restos distintos: um de A_{0}, um de A_{1} e um de A_{2}.
Isso dá
34\cdot34\cdot34 = 34^{3}
possibilidades.

Passo 5

Somando as duas situações, o total é
3\binom{34}{3} + 34^{3}.
Calculamos
\binom{34}{3} = \frac{34\cdot33\cdot32}{6} = 5984,
então
3\cdot5984 + 34^{3} = 17952 + 39304 = 57256.

Resposta

57256

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