(IME-91) Dado o conjunto
, pede-se o número de subconjuntos de
, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três.
Soluçāo:
Vamos dividir os elementos do conjunto A em três outros conjuntos de acordo com o seu resto na divisão por 3:
é o conjunto formado pelos elementos de
que deixam resto 0 na divisão por 3 ,
é formado pelos que deixam resto 1 e
é formado pelos que deixam resto 2 .
Observemos as quantidades de elementos de cada conjunto:
;
.
Para que a soma de 3 números inteiros seja múltiplo de 3 temos duas situações:
i) os 3 números deixam o mesmo resto na divisão por 3:
Assim, devemos escolher 3 números que deixam resto 0 na divisão por 3 ou 3 números que deixam resto 1 na divisão por 3 ou 3 números que deixam resto 2 na divisão por 3.
'emos, portanto,
.
i) cada um dos 3 números deixam um resto diferente na divisão por 3:
Jeste caso, devemos escolher um dos 34 elementos de
, um dos 34 elementos de
e um dos 34 elementos de
. Consequentemente, existem 34.34.34
possibilidades.
Soluçāo:
Vamos dividir os elementos do conjunto A em três outros conjuntos de acordo com o seu resto na divisão por 3:
Observemos as quantidades de elementos de cada conjunto:
Para que a soma de 3 números inteiros seja múltiplo de 3 temos duas situações:
i) os 3 números deixam o mesmo resto na divisão por 3:
'emos, portanto,
i) cada um dos 3 números deixam um resto diferente na divisão por 3:
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede o número de subconjuntos de
com três elementos cuja soma seja múltiplo de 3.
Conteúdo: combinatória e classes de resto na divisão por 3.
Conteúdo: combinatória e classes de resto na divisão por 3.
Passo 2
Classificamos os elementos de
segundo seu resto em
:
Como
, cada classe tem
Passo 3
Para que a soma de três elementos seja múltiplo de 3, há duas situações:
(i) Os três elementos têm o mesmo resto em
.
Nesse caso, escolhemos 3 de ou 3 de
ou 3 de
, totalizando
Nesse caso, escolhemos 3 de
Passo 4
(ii) Os três elementos vêm de restos distintos: um de
, um de
e um de
.
Isso dá
Isso dá
possibilidades.
Passo 5
Somando as duas situações, o total é
Calculamos
então
Resposta
57256