(OBM-10) Dizemos que um número inteiro positivo
é abestado se ao lermos da direita para esquerda obtivermos um inteiro maior que n. Por exemplo, 2009 é abestado porque 9002 é maior que 2009, por outro lado, 2010 não é abestado pois 0102, que é o número 102, é menor que 2010 e 3443 não é abestado pois quando lida da direita para esquerda é exatamente igual ao original. Quantos inteiros positivos de quatro algarismos são abestados?
Passo 1
O enunciado pede quantos inteiros de quatro algarismos
(isto é,
) satisfazem que, ao invertermos seus dígitos, obtemos um número estritamente maior que
. O conteúdo envolve representar
por seus dígitos e comparar com a versão invertida, depois usar contagem combinatória.
Passo 2
Sejam os dígitos de
dados por
com
e
. A versão invertida é
Queremos
Ao reorganizar, obtemos
Isto ocorre exatamente quando
Passo 3
Contagem do caso
:
- Para cada
, há , total de escolhas de . -
e podem ser quaisquer dos dígitos.
Logo
Passo 4
Contagem do caso
e
:
-
tem 9 escolhas ( a ). - Para
com há pares.
Logo total
Passo 5
Somando os dois casos temos