(OBM-10) Dizemos que um número inteiro positivo n é abestado se ao lermos da direita para esquerda obtivermos um inteiro maior que n. Por exemplo, 2009 é abestado porque 9002 é maior que 2009, por outro lado, 2010 não é abestado pois 0102, que é o número 102, é menor que 2010 e 3443 não é abestado pois quando lida da direita para esquerda é exatamente igual ao original. Quantos inteiros positivos de quatro algarismos são abestados?

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros de quatro algarismos n (isto é, 1000\le n\le9999) satisfazem que, ao invertermos seus dígitos, obtemos um número estritamente maior que n. O conteúdo envolve representar n por seus dígitos e comparar com a versão invertida, depois usar contagem combinatória.

Passo 2

Sejam os dígitos de n dados por
n = 1000A + 100B + 10C + D,
com A\in\{1,\dots,9\} e B,C,D\in\{0,\dots,9\}. A versão invertida é
n' = 1000D + 100C + 10B + A.
Queremos
n' > n \quad\Longleftrightarrow\quad 1000D + 100C + 10B + A > 1000A + 100B + 10C + D.
Ao reorganizar, obtemos
999(D - A) + 90(C - B) > 0.
Isto ocorre exatamente quando
D > A \quad\text{ou}\quad \bigl(D = A\;\text{e}\;C > B\bigr).

Passo 3

Contagem do caso D > A:
  • Para cada A=1,2,\dots,9, há D\in\{A+1,\dots,9\}, total de 9 - A escolhas de D.
  • B e C podem ser quaisquer dos 10 dígitos.
    Logo
\sum_{A=1}^{9} (9 - A)\times 10 \times 10 =100\sum_{k=0}^{8}k =100\times 36 =3600.

Passo 4

Contagem do caso D = A e C > B:
  • A tem 9 escolhas ( 1 a 9).
  • Para B,C\in\{0,\dots,9\} com C>B \binom{10}{2}=45 pares.
    Logo total
9\times 45 = 405.

Passo 5

Somando os dois casos temos
3600 + 405 = 4005.

Resposta

4005

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