(IME-94) Determine o termo independente de x de \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}

Passo 1

O enunciado pede o termo que não depende de x em \bigl(\sqrt{x}-\tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)^{10}. Para isso, vamos usar o Teorema do Binômio para expandir essa potência e identificar o termo geral em função de k.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio, o (k+1)-ésimo termo da expansão é
T_{k+1} = \binom{10}{k}\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{10-k}\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{x}}\Bigr)^{k}.
Reescrevendo em potência de x, temos
T_{k+1} = (-1)^k\binom{10}{k} \,x^{\frac{10-k}{2}}\, x^{-\frac{k}{2}} = (-1)^k\binom{10}{k}\,x^{\frac{10-2k}{2}} = (-1)^k\binom{10}{k}\,x^{5-k}.

Passo 3

O termo é independente de x quando o expoente de x for zero, ou seja,
5-k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 5.

Passo 4

Substituindo k=5 em T_{k+1}, o coeficiente fica
T_{6} = (-1)^5\binom{10}{5} = -\binom{10}{5} = -252.

Resposta

-252

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