(Insper-01) Durante o mês de Março no campeonato de Fórmula 1 a probabilidade de chover em um dia determinado é 4 / 10. A equipe Ferrari ganla uma corrida em um dia com chuva com probabilidade igual a 6 / 10 e em um dia sem chuva com probabilidade igual a 4/10. Sabendo-se que a Ferrari ganhou uma corrida naquele dia de Março, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
a) 4 / 10
b) 6 / 10
c) 1 / 3
d) 1 / 2
e) 1 / 4

Passo 1

O enunciado diz que durante março a probabilidade de chover num dia é \frac{4}{10}. Além disso, a Ferrari vence uma corrida num dia de chuva com probabilidade \frac{6}{10} e num dia sem chuva com probabilidade \frac{4}{10}. Denotemos por C o evento “chover” e por V o evento “vitória da Ferrari”. Queremos calcular P(C\mid V) usando probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro calculamos P(V) pela fórmula da probabilidade total:
P(V) \;=\; P(V\mid C)\,P\text{(C)}\;+\;P(V\mid \overline{C})\,P(\overline{C}).
Substituindo os valores:
P(V) \;=\;\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{10}\;+\;\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{10} \;=\;\frac{24}{100}+\frac{24}{100} \;=\;\frac{48}{100} \;=\;\frac{12}{25}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para obter P(C\mid V):
P(C\mid V) \;=\; \frac{P(V\mid C)\,P\text{(C)}}{P(V)}.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula de Bayes:
P(C\mid V) \;=\; \frac{\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{10}}{\frac{12}{25}} \;=\; \frac{\frac{24}{100}}{\frac{12}{25}} \;=\; \frac{24}{100}\cdot\frac{25}{12} \;=\; \frac{600}{1200} \;=\; \frac{1}{2}.

Resposta

d) \displaystyle\frac{1}{2}

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