(Insper-00) Uma moeda é viciada de tal forma que a probabilidade de sair cara num lançamento é o quádıuplo da de sair coroa.
a) Lançando-se uma vez a moeda qual a probabilidade de sair coroa.
b) Lançando-se quatro vezes a moeda, qual a probabilidade de sair exatamente uma coroa?

Passo 1

A questão trata de uma moeda viciada em que a probabilidade de sair cara é quatro vezes a de sair coroa. Precisamos:
  1. Calcular a probabilidade de coroa num único lançamento.
  2. Calcular a probabilidade de obter exatamente uma coroa em quatro lançamentos independentes.
Para isso usaremos a relação entre as probabilidades e, em seguida, o modelo de distribuição binomial.

Passo 2

Chamemos de \,p a probabilidade de sair cara e de \,q a probabilidade de sair coroa. Temos
p = 4q,
além de
p + q = 1.
Substituindo p=4q em p+q=1,
4q + q = 1 \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{1}{5},
e então
p = 1 - q = \frac{4}{5}.
Logo, a resposta da parte (a) é q=\tfrac{1}{5}.

Passo 3

Agora, lançando a moeda quatro vezes de forma independente, o número de coroas X segue uma distribuição binomial \mathrm{Bin}(n=4,p=q). A probabilidade de exatamente uma coroa é
P(X=1) = \binom{4}{1}\,q^1\,(1-q)^{3} = 4 \cdot \frac{1}{5} \cdot \Bigl(\frac{4}{5}\Bigr)^{3} = \frac{256}{625}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{1}{5}
b) \displaystyle \frac{256}{625}

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