Integrar:
integral d x2 x-3 x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dx2x - 3x^2
O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos o integrando em termos de frações parciais. Primeiro notamos que
12x - 3x^2 =1x(2 - 3x)
Procuramos constantes A e B tais que
1x(2 - 3x)=Ax+B2 - 3x
Isso implica
1 = A(2 - 3x) + Bx = 2A + x,(B - 3A)
Comparando coeficientes, obtemos
2A = 1Rightarrow A=tfrac12, B - 3A = 0Rightarrow B=tfrac32

Passo 3

Substituindo na integral,
integral dx2x - 3x^2 =integrall(1/2x+3/22 - 3xr),dx =tfrac12integraldxx+tfrac32integraldx2 - 3x

Passo 4

Calculamos cada termo:
tfrac12integraldxx =tfrac12lnl|xr|,
e usando a substituição u=2 - 3x, du=-3,dx,
tfrac32integraldx2 - 3x =tfrac32cdotl(-tfrac13r)lnl|2 - 3xr| =-tfrac12lnl|2 - 3xr|

Passo 5

Somando os resultados,
integral dx2x - 3x^2 =tfrac12lnl|xr| -tfrac12lnl|2 - 3xr|+C =tfrac12ln!l|x2 - 3xr|+C

Resposta

integral dx2x - 3x^2 =tfrac12ln!l|x2 - 3xr|+C

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