Integrar:
integral (x-4)(x^2+1)(x-2) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja,
integral x-4(x^2+1)(x-2),dx
O conteúdo principal aqui é decompor em frações parciais e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Vamos escrever a decomposição em frações parciais:
x-4(x^2+1)(x-2) = Ax + Bx^2+1 + Cx-2

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x^2+1)(x-2) para achar A, B e C:
x - 4 = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2+1)
Expandindo o primeiro produto:
(Ax + B)(x - 2) = A x^2 + (B-2A)x - 2B,
de modo que
x - 4 = l(A+Cr)x^2 + (B-2A)x + l(C - 2Br)

Passo 4

Igualamos coeficientes de cada potência de
Da primeira equação . Na terceira:
Assim e

Passo 5

Reescrevendo a integral com esses coeficientes:
integral x-4(x^2+1)(x-2),dx = integral l(tfrac25x+tfrac95x^2+1 - tfrac25x-2r),dx
Separamos em três integrais:
25integral xx^2+1,dx ;+;95integral 1x^2+1,dx ;-;25integral 1x-2,dx

Passo 6

Calculamos cada uma:
integral xx^2+1,dx = 12lnl(x^2+1r), integral 1x^2+1,dx = arctan(x), integral 1x-2,dx = lnlvert x-2rvert
Logo a integral dada é
25cdot12ln(x^2+1) + 95arctan(x) - 25lnlvert x-2rvert + C
Simplificando,
15ln(x^2+1) + 95arctan(x) - 25lnlvert x-2rvert + C

Resposta

integral x-4(x^2+1)(x-2),dx = 15lnl(x^2+1r) + 95arctan(x) - 25lnlvert x-2rvert + C

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