- Integrar
, onde
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
Queremos encontrar a solução geral
e também as eventuais soluções singulares.
Passo 2
Primeiro, expressamos tudo em termos de
e
. Substituindo
, temos
Isso é uma equação quadrática em
.
Passo 3
Resolvendo a quadrática para
via a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Para simplificar, nota-se a raiz
. Definimos
Queremos reescrever
em função de
e
. Da relação
segue, por diferenciação,
Passo 5
Igualamos essa expressão de
àquela obtida em função de
:
Usando
para eliminar
, obtemos uma EDO separável em
:
Integramos:
Passo 6
Voltando a
, temos
Cancelando o
e isolando
:
Como o sinal “
” pode ser absorvido pela constante
, a solução geral fica
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para ver se existe solução singular (envelope), eliminamos
pela condição
Substituindo em
dá
Resposta
Solução geral:
Solução singular (envelope):