• Integrar y=-x p+x^4 p^2, onde p=d yd x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y = -x,p + x^4p^2, onde p = dydx
Queremos encontrar a solução geral y(x) e também as eventuais soluções singulares.

Passo 2

Primeiro, expressamos tudo em termos de y e y'. Substituindo p = y', temos
y = -x,y' + x^4(y')^2 ;Longrightarrow; x^4(y')^2 - x,y' - y = 0
Isso é uma equação quadrática em y'.

Passo 3

Resolvendo a quadrática para y' via a fórmula de Bhaskara:
y' = x pm raizx^2 + 4,x^4y2,x^4 = 1 pm raiz1 + 4x^2y2,x^3

Passo 4

Para simplificar, nota-se a raiz raiz1+4x^2y. Definimos
u(x) = raiz1 + 4x^2y(x)
Queremos reescrever y' em função de u e u'. Da relação u^2=1+4x^2y segue, por diferenciação,
2u,u' = 8x,y + 4x^2y' ;Longrightarrow; y' = u,u' - 4x,y2,x^2

Passo 5

Igualamos essa expressão de y' àquela obtida em função de u:
u,u' - 4x,y2x^2 = 1 pm u2x^3
Usando y=tfracu^2-14x^2 para eliminar y, obtemos uma EDO separável em u:
dudx = u pm 1x
Integramos:
ln|u pm 1| = ln|x| + C ;Longrightarrow; u pm 1 = C,x

Passo 6

Voltando a y, temos
raiz1+4x^2y = Cx mp 1 ;Longrightarrow; 1+4x^2y = (Cx mp 1)^2 = C^2x^2 mp 2Cx +1
Cancelando o 1 e isolando y:
y = C^2x^2 mp 2Cx4x^2 = C^24 mp C2x
Como o sinal “ mp” pode ser absorvido pela constante C, a solução geral fica
boxedy = C^24 - C2x,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Para ver se existe solução singular (envelope), eliminamos C pela condição
partialpartial Cl(tfracC^24 - tfracC2xr)=0 ;Longrightarrow; C2 - 12x=0 ;Rightarrow; C=1x
Substituindo em y
yrm sing = 1/(x^2)4 - 1/(x)2x = -14x^2

Resposta

Solução geral:
y = C^24 - C2x
Solução singular (envelope):
y = -14x^2

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