Mostrar que
sumnu=1^infty nu!(2 nu)! converge.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumnu=1^infty nu!(2nu)!
converge. O conteúdo que vamos usar é o teste da razão, pois cada termo é positivo e envolve fatoriais.

Passo 2

Defina o termo geral da série como
anu = nu!(2nu)!,
notando que anu>0 para todo nu>=1. Para aplicar o teste da razão, consideramos o quociente anu+1/anu.

Passo 3

Calculemos
anu+1anu = dfrac(nu+1)!(2nu+2)!dfracnu!(2nu)! = (nu+1),(2nu)!(2nu+2)! = (nu+1),1(2nu+2)(2nu+1) = nu+1(2nu+2)(2nu+1) = 12(2nu+1)

Passo 4

Observe que
limnutoinfty anu+1anu = limnutoinfty 12(2nu+1) = 0
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série sumnu=1^infty nu!(2nu)! converge pelo teste da razão, pois
limnutoinfty anu+1anu = 0 < 1

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