Discutir a convergência ou divergência das seguintes séries: .
Passo 1
O enunciado pede para discutir a convergencia da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries alternadas e séries de Dirichlet. Vamos precisar de:
– teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica);
– teste de Dirichlet (ou Abel–Dirichlet) para a convergência condicional;
– identificação de casos especiais em que o termo geral não oscila.
Passo 2
Verificamos a convergência absoluta comparando
Como a função cos(theta'nu) não tende a zero nem a um valor cujo módulo seja sempre nulo, existem infinitamente muitos nu tais que lvertcos(theta'nu)rvert>=de<a>0. Portanto, por comparação com sum de<a/nu, a série de módulos diverge. Logo, não há convergência absoluta para nenhum theta'.
Passo 3
Para a convergência condicional, escrevemos o termo geral como
anu=l(-1r)^nucos(theta'nu), bnu=1nu,
onde bnu é positivo, monótono decrescente e tende a zero. Aplicamos o teste de Dirichlet: basta mostrar que as somas parciais
AN=sumnu=1^Nanu
são uniformemente limitadas em N (para cada theta').
Passo 4
Note que
anu =Rel[(-1)^nue^itheta'nur] =Re!l[z^nur], onde z=-e^,itheta'
Se zneq1, a soma geométrica
sumnu=1^Nz^nu =zl(1-z^Nr)1-z
é limitada em módulo, e portanto sumnu=1^Nanu=Re!l(sum1^Nz^nur) também é limitada. Pelo teste de Dirichlet, a série original converge condicionalmente sempre que zneq1.
e a série se reduz a sumnu=1^infty1/nu, que é a série harmônica e dá divergente.
Resposta
Para todo theta' tal que theta'neqpi+2kpi, kinZ, a série sumnu=1^infty(-1)^nucos(theta'nu)nu
converge condicionalmente (não absolutamente).
Para theta'=pi+2kpi, a série diverge.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 183.b