Discutir a convergência ou divergência das seguintes séries:
Sigma (-1)^nu cos (theta^prime nu)nu.

Passo 1

O enunciado pede para discutir a convergencia da série
sumnu=1^infty (-1)^nucosl(theta'nur)nu
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries alternadas e séries de Dirichlet. Vamos precisar de:
– teste de convergência absoluta (comparação com a série harmônica);
– teste de Dirichlet (ou Abel–Dirichlet) para a convergência condicional;
– identificação de casos especiais em que o termo geral não oscila.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta comparando
sumnu=1^inftygl|(-1)^nucos(theta'nu)nugr| =sumnu=1^inftyl|cos(theta'nu)r|nu
Como a função cos(theta'nu) não tende a zero nem a um valor cujo módulo seja sempre nulo, existem infinitamente muitos nu tais que lvertcos(theta'nu)rvert>=de<a>0. Portanto, por comparação com sum de<a/nu, a série de módulos diverge. Logo, não há convergência absoluta para nenhum theta'.

Passo 3

Para a convergência condicional, escrevemos o termo geral como
anu=l(-1r)^nucos(theta'nu), bnu=1nu,
onde bnu é positivo, monótono decrescente e tende a zero. Aplicamos o teste de Dirichlet: basta mostrar que as somas parciais
AN=sumnu=1^Nanu
são uniformemente limitadas em N (para cada theta').

Passo 4

Note que
anu =Rel[(-1)^nue^itheta'nur] =Re!l[z^nur], onde z=-e^,itheta'
Se zneq1, a soma geométrica
sumnu=1^Nz^nu =zl(1-z^Nr)1-z
é limitada em módulo, e portanto sumnu=1^Nanu=Re!l(sum1^Nz^nur) também é limitada. Pelo teste de Dirichlet, a série original converge condicionalmente sempre que zneq1.

Passo 5

O caso z=1 ocorre quando
-,e^,itheta'=1 Longrightarrow e^,itheta'=-1 Longrightarrow theta'=pi+2kpi,;kinZ
Nesse caso temos
anu =Rel[1^nur]=1,
e a série se reduz a
sumnu=1^infty1/nu, que é a série harmônica e dá divergente.

Resposta

Para todo theta' tal que theta'neqpi+2kpi, kinZ, a série
sumnu=1^infty(-1)^nucos(theta'nu)nu
converge condicionalmente (não absolutamente).
Para theta'=pi+2kpi, a série diverge.

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