O inteiro A consiste de 666 números 3, e o inteiro B possui 666 números 6. Quantos dígitos aparecem no produto A.B?

Passo 1

O enunciado diz que
A é o inteiro formado por 666 dígitos “3”, ou seja
A = underbrace333ldots3666 vezes,,
e B é o inteiro formado por 666 dígitos “6”, ou seja
B = underbrace666ldots6666 vezes,
Queremos o número de dígitos de Acdot B. Para isso, vamos estimar a ordem de grandeza de A e B e usar a fórmula
nº de dígitos de N = lfloor log10(N)rfloor +1 ºí

Passo 2

Observe que um inteiro formado por 666 algarismos “3” vale
A = 3,333ldots3times 10^665 = 3,333ldots3cdot 10^665 (onde há 666 dígitos no total) áí
Analogamente,
B = 6,666ldots6times 10^665 = 6,666ldots6cdot 10^665
Assim
Acdot B = l(3,333ldots3r),l(6,666ldots6r)times 10^1330
No produto dos coeficientes decimais temos
3,333ldots3 times 6,666ldots6 = 22,222ldots2approx 2,222ldots2times 10^1

Passo 3

Logo
Acdot B approx 2,222ldots2 times 10^1times 10^1330 =2,222ldots2times 10^1331
Isso significa que
log10(Acdot B) approx 1331 + log10l(2,222ldots2r),
onde 2,222ldots2 está entre 2 e 3, logo log10(2,222ldots2) está entre 0,3 e 0,5. Portanto
lfloor log10(Acdot B)rfloor = 1331

Passo 4

Pelo critério de contagem de dígitos, temos
nº de dígitos de Acdot B = lfloor log10(Acdot B)rfloor +1 =1331+1=1332 ºí

Resposta

O produto Acdot B tem 1332 dígitos.

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