Se n é um inteiro, mostre que n(n-1)(2 n-1) é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado pede que, para todo inteiro n, mostremos que
n(n-1)(2n-1)
é divisível por 6. Como 6=2cdot3 e gcd(2,3)=1, basta provar que 2 e 3 dividem esse produto.

Passo 2

Para a divisibilidade por 2: os fatores n e n-1 são dois inteiros consecutivos, logo um deles é par. Logo
2 mid n(n-1)(2n-1)

Passo 3

Para a divisibilidade por 3: analisamos os três casos de n módulo 3:
  • Se nequiv0pmod3, então 3mid n.
  • Se nequiv1pmod3, então n-1equiv0pmod3, logo 3mid(n-1).
  • Se nequiv2pmod3, então 2n-1equiv2cdot2-1=3equiv0pmod3, logo 3mid(2n-1).
    Em cada caso 3 divide um dos fatores, portanto
3 mid n(n-1)(2n-1)

Passo 4

Como mostramos que 2 e 3 dividem o produto e são primos entre si, concluímos que
6 = 2cdot3 ;m|; n(n-1)(2n-1)

Resposta

O produto n(n-1)(2n-1) é divisível por 6.

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