Se
é um inteiro, mostre que
n(n-1)(2 n-1) é divisível por 6 .
Passo 1
O enunciado pede que, para todo inteiro
n , mostremos que
é divisível por
6 . Como
6=2cdot3 e
gcd(2,3)=1 , basta provar que
2 e
3 dividem esse produto.
Passo 2
Para a divisibilidade por
2 : os fatores
n e
n-1 são dois inteiros consecutivos, logo um deles é par. Logo
Passo 3
Para a divisibilidade por
3 : analisamos os três casos de
n módulo
3 :
- Se
, entãonequiv0pmod3 .3mid n - Se
, entãonequiv1pmod3 , logon-1equiv0pmod3 .3mid(n-1) - Se
, entãonequiv2pmod3 logo2n-1equiv2cdot2-1=3equiv0pmod3, .3mid(2n-1)
Em cada caso divide um dos fatores, portanto3
Passo 4
Como mostramos que
2 e
3 dividem o produto e são primos entre si, concluímos que
Resposta
O produto
n(n-1)(2n-1) é divisível por
6 .