a) Se n é um inteiro par, prove que mdc(n, n+2)=2. b) Se n é ímpar, prove que mdc(n, n+2)=1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar gcd(n,n+2) em dois casos: quando n é par e quando n é ímpar. Vamos usar a propriedade básica do algoritmo de Euclides e o fato de que qualquer divisor comum de n e n+2 também divide a diferença (n+2)-n=2.

Passo 2

Pelo algoritmo de Euclides vale
gcd(n,n+2)=gcdl(n,(n+2)-nr)=gcd(n,2)
Portanto basta analisar gcd(n,2).

Passo 3

Se n é par, então existe kinZ tal que n=2k. Logo
gcd(n,2)=gcd(2k,2)
Quais são os divisores comuns de 2k e de 2? Como 2 é o maior divisor de si mesmo e divide 2k, o maior divisor comum é 2. Portanto
gcd(2k,2)=2

Passo 4

Se n é ímpar, então existe kinZ tal que n=2k+1. Logo
gcd(n,2)=gcd(2k+1,2)
Os únicos divisores de 2 são 1 e 2; mas 2 não pode dividir 2k+1 (que é ímpar). Assim o único divisor comum possível é 1, e
gcd(2k+1,2)=1

Resposta

a) gcd(n,n+2)=2 quando n é par.
b) gcd(n,n+2)=1 quando n é ímpar.

Exercícios de Livros Relacionados