a) Se n é um inteiro par, prove que
. b) Se n é ímpar, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
em dois casos: quando
é par e quando
é ímpar. Vamos usar a propriedade básica do algoritmo de Euclides e o fato de que qualquer divisor comum de
e
também divide a diferença
.
Passo 2
Pelo algoritmo de Euclides vale
Portanto basta analisar
.
Passo 3
Se
é par, então existe
tal que
. Logo
Quais são os divisores comuns de
e de
? Como
é o maior divisor de si mesmo e divide
, o maior divisor comum é
. Portanto
Passo 4
Se
é ímpar, então existe
tal que
. Logo
Os únicos divisores de
são
e
; mas
não pode dividir
(que é ímpar). Assim o único divisor comum possível é
, e
Resposta
a)
quando
é par.
b) quando
é ímpar.
b)