Sejam a e b números inteiros (
ou
). Prove que
.
Sugestão: Para o caso
e
(ou vice-versa), acrescente
à expressão
e leve em conta que
(logo
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros
e
com
, vale
O conteúdo usado será análise de casos sobre o sinal de
e fatoração/completar quadrado.
Passo 2
Caso
. Então
e
têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Daí
e como nem ambos são zero,
. Logo neste caso
Passo 3
Caso
. Usando a sugestão, somamos zero na forma
:
Como
temos
e além disso
. Portanto
ou seja
Resposta
Como em ambos os casos
, concluímos que sempre vale