Sejam a e b números inteiros ( a neq 0 ou b neq 0 ). Prove que a^2+a b+b^2>0.
Sugestão: Para o caso a>0 e b<0 (ou vice-versa), acrescente 0=a b-a b à expressão a^2+a b+b^2 e leve em conta que a b<0 (logo -(a b)>0 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros a e b com (a,b)neq(0,0), vale
a^2+ab+b^2>0
O conteúdo usado será análise de casos sobre o sinal de ab e fatoração/completar quadrado.

Passo 2

Caso ab>=0. Então a e b têm o mesmo sinal ou um deles é zero. Daí
a^2+ab+b^2;>=;a^2+b^2
e como nem ambos são zero, a^2+b^2>0. Logo neste caso
a^2+ab+b^2>0

Passo 3

Caso ab<0. Usando a sugestão, somamos zero na forma ab-ab:
a^2+ab+b^2 =a^2+2ab+b^2-ab =(a+b)^2-ab
Como ab<0 temos -ab>0 e além disso (a+b)^2>=0. Portanto
(a+b)^2-ab>0,
ou seja
a^2+ab+b^2>0

Resposta

Como em ambos os casos a^2+ab+b^2>0, concluímos que sempre vale
a^2+ab+b^2>0

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