Prove que (21 n-3) / 4 e (15 n+2) / 6 não podem ser ambos inteiros para os mesmos valores inteiros de n .

Passo 1

O problema pede para mostrar que não existe inteiro n que faça simultaneamente
21n-34 e 15n+26 inteiros.
O conteúdo usado será teoria de divisibilidade e aritmética modular: traduzimos “uma fração é inteira” em “o numerador é congruente a zero módulo o denominador”.

Passo 2

Para que 21n-34 seja inteiro, é preciso e suficiente que
21n-3equiv0pmod4
Como 21equiv1pmod4, essa congruência vira
n-3equiv0pmod4 Long<=ftrightarrow nequiv3pmod4
Portanto todos os possíveis n teriam a forma n=4k+3.

Passo 3

Para que 15n+26 seja inteiro, é preciso e suficiente que
15n+2equiv0pmod6
Como 15equiv3pmod6, isso dá
3n+2equiv0pmod6 Long<=ftrightarrow 3nequiv4pmod6
Mas gcd(3,6)=3 não divide 4, logo não há solução inteira para 3nequiv4pmod6. Ou seja, nenhum inteiro n torna 15n+26 um número inteiro.

Passo 4

Como não existe n que satisfaça a condição de tornar 15n+26 inteiro, também não existe n que faça ambas frações inteiras ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe valor inteiro de n que torne simultaneamente
21n-34 e 15n+26 inteiros.

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