Prove que
e
não podem ser ambos inteiros para os mesmos valores inteiros de n .
Passo 1
O problema pede para mostrar que não existe inteiro
que faça simultaneamente
e
inteiros.
O conteúdo usado será teoria de divisibilidade e aritmética modular: traduzimos “uma fração é inteira” em “o numerador é congruente a zero módulo o denominador”.
O conteúdo usado será teoria de divisibilidade e aritmética modular: traduzimos “uma fração é inteira” em “o numerador é congruente a zero módulo o denominador”.
Passo 2
Para que
seja inteiro, é preciso e suficiente que
Como
, essa congruência vira
Portanto todos os possíveis
teriam a forma
.
Passo 3
Para que
seja inteiro, é preciso e suficiente que
Como
, isso dá
Mas
não divide
, logo não há solução inteira para
. Ou seja, nenhum inteiro
torna
um número inteiro.
Passo 4
Como não existe
que satisfaça a condição de tornar
inteiro, também não existe
que faça ambas frações inteiras ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe valor inteiro de
que torne simultaneamente
e
inteiros.