(ITA-65) Considere os inteiros de 1 até 10.000.000.000
a) Ein quantos deles usamos o algarismo 1 em sua representação?
b) Em quantos deles o algarismo 1 não ocorre na representação?
c) Qual o maior, o número daqueles em que entra o 1 em sua representação, ou o número daqueles em que não entra o algarisıno 1 ?
Nota: \log 9=0,9542 \quad \log 3,49=0,542 \quad \log 2=0,3010

Passo 1

O enunciado pede, para os inteiros de 1 até 10\,000\,000\,000 (ou seja, até 10^{10}), contar quantos têm o dígito 1 em sua representação decimal (parte a), quantos não têm o dígito 1 (parte b) e, por fim, comparar essas duas quantidades (parte c). O conteúdo é contagem de cadeias de dígitos, usando o princípio fundamental da contagem com e sem restrição.

Passo 2

Vamos primeiro considerar todos os inteiros de 0 até 9\,999\,999\,999, que são exatamente 10^{10} números, cada um representado por uma sequência de 10 dígitos (permitindo-se zeros à esquerda).
  • Sem nenhuma restrição, há 10^{10} sequências de 10 dígitos.
  • Se proibirmos o dígito 1, cada posição pode ser qualquer um dos 9 dígitos de \{0,2,3,\dots,9\}, dando 9^{10} sequências.
Logo, entre 0 e 9\,999\,999\,999:
\text{com pelo menos um '1'} = 10^{10} - 9^{10},
\text{sem nenhum '1'} = 9^{10}.

Passo 3

Como queremos de 1 até 9\,999\,999\,999, basta retirar o zero (que está no conjunto “sem nenhum ‘ 1’”). Assim, de 1 a 9\,999\,999\,999:
\text{com pelo menos um '1'} = 10^{10} - 9^{10},
\text{sem nenhum '1'} = 9^{10} - 1.

Passo 4

Falta incluir o número 10^{10}=10\,000\,000\,000. Sua representação é “ 10000000000” ( 11 dígitos), e contém o dígito 1. Portanto ele:
  • acrescenta 1 à classe “com pelo menos um ‘ 1’”,
  • não entra na classe “sem nenhum ‘ 1’”.
Assim, contando de 1 até 10^{10}:
a) total com o dígito 1= \bigl(10^{10}-9^{10}\bigr)+1,
b) total sem o dígito 1= 9^{10}-1.

Passo 5

Agora calculamos 9^{10}. Sabendo que 9^5=59\,049,
9^{10} = (9^5)^2 = 59\,049^2 = 3\,486\,784\,401.
Substituindo:
a) \;(10^{10}-9^{10})+1 = 10\,000\,000\,000 - 3\,486\,784\,401 + 1 = 6\,513\,215\,600,
b) \;9^{10}-1 = 3\,486\,784\,401 - 1 = 3\,486\,784\,400.

Passo 6

Comparando as quantidades:
6\,513\,215\,600 \quad\text{versus}\quad 3\,486\,784\,400,
vemos que é maior o número de inteiros que têm o dígito 1.

Resposta

a) 6\,513\,215\,600
b) 3\,486\,784\,400
c) O conjunto dos inteiros que contêm o dígito 1 é maior.

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