(ITA-65) Considere os inteiros de 1 até 10.000.000.000
a) Ein quantos deles usamos o algarismo 1 em sua representação?
b) Em quantos deles o algarismo 1 não ocorre na representação?
c) Qual o maior, o número daqueles em que entra o 1 em sua representação, ou o número daqueles em que não entra o algarisıno 1 ?
Nota:
a) Ein quantos deles usamos o algarismo 1 em sua representação?
b) Em quantos deles o algarismo 1 não ocorre na representação?
c) Qual o maior, o número daqueles em que entra o 1 em sua representação, ou o número daqueles em que não entra o algarisıno 1 ?
Nota:
Passo 1
O enunciado pede, para os inteiros de
até
(ou seja, até
), contar quantos têm o dígito
em sua representação decimal (parte a), quantos não têm o dígito
(parte b) e, por fim, comparar essas duas quantidades (parte c). O conteúdo é contagem de cadeias de dígitos, usando o princípio fundamental da contagem com e sem restrição.
Passo 2
Vamos primeiro considerar todos os inteiros de
até
, que são exatamente
números, cada um representado por uma sequência de
dígitos (permitindo-se zeros à esquerda).
- Sem nenhuma restrição, há
sequências de dígitos. - Se proibirmos o dígito
, cada posição pode ser qualquer um dos dígitos de , dando sequências.
Logo, entre
e
:
Passo 3
Como queremos de
até
, basta retirar o zero (que está no conjunto “sem nenhum ‘
’”). Assim, de
a
:
Passo 4
Falta incluir o número
. Sua representação é “
” (
dígitos), e contém o dígito
. Portanto ele:
- acrescenta
à classe “com pelo menos um ‘ ’”, - não entra na classe “sem nenhum ‘
’”.
Assim, contando de
até
:
a) total com o dígito ,
b) total sem o dígito .
a) total com o dígito
b) total sem o dígito
Passo 5
Agora calculamos
. Sabendo que
,
Substituindo:
a)
b)
a)
b)
Passo 6
Comparando as quantidades:
vemos que é maior o número de inteiros que têm o dígito
.
Resposta
a)
b)
c) O conjunto dos inteiros que contêm o dígito é maior.
b)
c) O conjunto dos inteiros que contêm o dígito