(UFRJ-01) A inala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com einco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9 . Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições:
a) se o primeiro algarismo é impar, entào o último algarismo também é impar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro:
c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5 .
a) se o primeiro algarismo é impar, entào o último algarismo também é impar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro:
c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5 .
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de códigos de cadeado com cinco dígitos
, cada dígito em
, sujeitos a três condições:
- Se
é ímpar, então é ímpar. - Se
é par, então . -
.
Vamos usar contagem combinatória separando as escolhas independentes e depois multiplicando-as.
Passo 2
Analisando as posições 2, 3 e 4:
— A condição tem pares possíveis
, ou seja, 6 opções para
.
— O dígito não tem restrição, logo tem 10 possibilidades.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total para é
— A condição
— O dígito
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total para
Passo 3
Agora as posições 1 e 5 sujeitas às condições a) e b):
— Se é par (
, 5 opções), então
dá exatamente 1 escolha de
para cada
. Total:
.
— Se é ímpar (
, 5 opções), então
pode ser qualquer ímpar (
, 5 opções). Total:
.
Somando os dois casos, há
— Se
— Se
Somando os dois casos, há
possibilidades para
.
Passo 4
Agora basta multiplicar as escolhas independentes:
— : 30 possibilidades
— : 60 possibilidades
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de códigos é
—
—
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de códigos é
Resposta
A quantidade de combinações possíveis é 1800.