(UFRJ-01) A inala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com einco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9 . Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições:
a) se o primeiro algarismo é impar, entào o último algarismo também é impar;
b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro:
c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5 .

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de códigos de cadeado com cinco dígitos d_1d_2d_3d_4d_5, cada dígito em \{0,1,\dots,9\}, sujeitos a três condições:
  1. Se d_1 é ímpar, então d_5 é ímpar.
  2. Se d_1 é par, então d_5=d_1.
  3. d_2+d_3=5.
    Vamos usar contagem combinatória separando as escolhas independentes e depois multiplicando-as.

Passo 2

Analisando as posições 2, 3 e 4:
— A condição d_2+d_3=5 tem pares possíveis
(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0), ou seja, 6 opções para (d_2,d_3).
— O dígito d_4 não tem restrição, logo tem 10 possibilidades.
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total para (d_2,d_3,d_4) é
6 \times 10 = 60.

Passo 3

Agora as posições 1 e 5 sujeitas às condições a) e b):
— Se d_1 é par ( 0,2,4,6,8, 5 opções), então d_5=d_1 dá exatamente 1 escolha de d_5 para cada d_1. Total: 5\times1=5.
— Se d_1 é ímpar ( 1,3,5,7,9, 5 opções), então d_5 pode ser qualquer ímpar ( 1,3,5,7,9, 5 opções). Total: 5\times5=25.
Somando os dois casos, há
5 + 25 = 30
possibilidades para (d_1,d_5).

Passo 4

Agora basta multiplicar as escolhas independentes:
(d_1,d_5): 30 possibilidades
(d_2,d_3,d_4): 60 possibilidades
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de códigos é
30 \times 60 = 1800.

Resposta

A quantidade de combinações possíveis é 1800.

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