(ITA-89) Considere um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm . Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados de ABCD, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 \mathrm{~cm}
c) 8,5 \mathrm{~cm}
d) 11 cm
e) 13 cm

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem 5 cm e 6 cm, respectivamente. Os pontos R,S,T,U são os pontos médios de AB,BC,CD,DA. Pede-se o perímetro de RSTU. O conteúdo usado será o Teorema de Varignon, que diz que o quadrilátero formado pelos pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero é um paralelogramo cujos lados têm comprimentos iguais à metade das diagonais do quadrilátero original.

Passo 2

Vamos encontrar o comprimento de um dos lados de RSTU. Por Varignon, o segmento RS tem mesmo vetor do que metade da diagonal AC. Então
\bigl\lVert RS\bigr\rVert \;=\;\frac{1}{2}\,\bigl\lVert AC\bigr\rVert \;=\;\frac{1}{2}\times 5\;\text{cm} \;=\;2{,}5\;\text{cm}.

Passo 3

De modo análogo, o segmento ST corresponde a metade da diagonal BD. Assim,
\bigl\lVert ST\bigr\rVert =\frac{1}{2}\,\bigl\lVert BD\bigr\rVert =\frac{1}{2}\times 6\;\text{cm} =3\;\text{cm}.

Passo 4

Como RSTU é um paralelogramo com lados \,RS e \,ST, seu perímetro é
2\bigl(\lVert RS\rVert + \lVert ST\rVert\bigr) =2\bigl(2{,}5 + 3\bigr) =2\times 5{,}5 =11\;\text{cm}.

Resposta

11 cm.

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