(ITA-SP) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BA A C, mede 40^circ. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que A widehatC E=15^circ. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DB C=35^circ. Então, o ângulo ED̂B vale
a) 35^circ
b) 45^circ
c) 55^circ
d) 75^circ
e) 85^circ

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC isósceles em A com
ang<= BAC = 40^circ,
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ang<= ABC = ang<= ACB = 180^circ - 40^circ2 = 70^circ
Toma-se E em AB tal que
ang<= ACE = 15^circ,
e D em AC tal que
ang<= DBC = 35^circ
Queremos ang<= EDB.

Passo 2

Em triang<= ACE temos
ang<= ACE = 15^circ, ang<= CAE = ang<= CAB = 40^circ,
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ang<= AEC = 180^circ - 15^circ - 40^circ = 125^circ
Pela lei dos senos em triang<= ACE:
AEsin15^circ ;=;ACsin125^circ Longrightarrow AE = AC,sin15^circsin125^circ

Passo 3

Em triang<= ABC, como ang<= DBC=35^circ e ang<= ABC=70^circ, segue ang<= DBA=35^circ, ou seja, BD é bissetriz de ang<= B. No triang<= ADC temos
ang<= ACD = 70^circ - 35^circ = 35^circ, ang<= CAD = 40^circ, ang<= ADC = 180^circ - 35^circ - 40^circ = 105^circ
Pela lei dos senos em triang<= ADC:
ADsin35^circ ;=;ACsin105^circ Longrightarrow AD = AC,sin35^circsin105^circ

Passo 4

Considere triang<= AED. Sabemos AE, AD em função de AC e ang<= EAD = 40^circ. Pela lei dos senos em dois pares:
sinang<= AEDAD ;=;sin40^circDE e sinang<= ADEAE ;=;sin40^circDE ;Longrightarrow; sinang<= AEDsinang<= ADE = ADAE
Como ang<= AED + ang<= ADE = 180^circ - 40^circ = 140^circ, ponha x = ang<= AED. Então
sin xsin(140^circ - x) = AD/AE ;1; = sin35^circ/sin105^circsin15^circ/sin125^circ = sin35^circ,sin125^circsin105^circ,sin15^circ
Usando
sin125^circ=sin55^circ,;sin105^circ=sin75^circ,
sin55^circ=cos35^circ,;sin75^circ=cos15^circ
e as identidades
sin35^circ,cos35^circ=tfrac12sin70^circ,
sin15^circ,cos15^circ=tfrac12sin30^circ,
vem
sin xsin(140^circ - x) = tfrac12sin70^circtfrac12sin30^circ = sin70^circsin30^circ = 2sin70^circ
A única solução xin(0,140^circ) é
x = 110^circ,
isto é
ang<= AED = 110^circ

Passo 5

Em triang<= BDE conhecemos
ang<= EBD = ang<= DBA = 35^circ, ang<= BED = ang<= AED = 110^circ
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ang<= EDB = 180^circ - 35^circ - 110^circ = 35^circ

Resposta

a) 35^circ

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