(ITA-SP) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, , mede . Sobre o lado , tome o ponto E tal que A widehatC E=15^circ. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DB C=35^circ. Então, o ângulo ED̂B vale
a) 35^circ
b) 45^circ
c) 55^circ
d) 75^circ
e) 85^circ
Passo 1
O enunciado dá um triângulo ang<= BAC = 40^circ, isósceles em ang<= ABC = ang<= ACB = 180^circ - 40^circ2 = 70^circ com
Em ang<= ACD = 70^circ - 35^circ = 35^circ, ang<= CAD = 40^circ, ang<= ADC = 180^circ - 35^circ - 40^circ = 105^circ , como ADsin35^circ ;=;ACsin105^circ Longrightarrow AD = AC,sin35^circsin105^circ e , segue , ou seja, é bissetriz de . No temos
Pela lei dos senos em :
Passo 4
Considere sinang<= AEDAD ;=;sin40^circDE e sinang<= ADEAE ;=;sin40^circDE ;Longrightarrow; sinang<= AEDsinang<= ADE = ADAE . Sabemos sin xsin(140^circ - x) = AD/AE ;1; = sin35^circ/sin105^circsin15^circ/sin125^circ = sin35^circ,sin125^circsin105^circ,sin15^circ , sin xsin(140^circ - x) = tfrac12sin70^circtfrac12sin30^circ = sin70^circsin30^circ = 2sin70^circ em função de x = 110^circ, e ang<= AED = 110^circ . Pela lei dos senos em dois pares:
Como , ponha . Então
Usando
e as identidades
vem
A única solução é
isto é
Passo 5
Em ang<= EBD = ang<= DBA = 35^circ, ang<= BED = ang<= AED = 110^circ conhecemos
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 18