(Unifesp-SP) Dados x > 0, considere o retângulo de base 4 cm e altura
. Seja
, em centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a área de um quadrado de lado
.
a) Obtenha os valores de
para os quais
.
b) Obtenha o valor de
para o qual
assume o maior valor possível, e dê o valor máximo de
.
a) Obtenha os valores de
b) Obtenha o valor de
Passo 1
O enunciado diz que, para
, temos um retângulo de base
cm e altura
cm. Definimos
O conteúdo é otimização de uma função quadrática: primeiro achamos o domínio em que
e depois determinamos o máximo de
.
Passo 2
A área do retângulo é
e a área do quadrado de lado
é
. Logo,
Passo 3
Para achar os
que tornam
, resolvemos
Multiplicando por
(positivo), fica
As raízes são
e
, e a parábola abre para baixo, então
quando
Passo 4
Para maximizar
, usamos o vértice da parábola ou derivada. A derivada é
que se anula em
Como o coeficiente de
é
, esse ponto é de máximo.
Passo 5
Calculamos o valor máximo:
Resposta
a)
.\nb) O máximo de
ocorre em
cm e o valor máximo é
.