(Unifesp-SP) Dados x > 0, considere o retângulo de base 4 cm e altura x cm. Seja y, em centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a área de um quadrado de lado x2 cm.
a) Obtenha os valores de x para os quais y>0.
b) Obtenha o valor de x para o qual y assume o maior valor possível, e dê o valor máximo de y.

Passo 1

O enunciado diz que, para x>0, temos um retângulo de base 4 cm e altura x cm. Definimos
y = área do retângulo - área de um quadrado de lado x2 áâá
O conteúdo é otimização de uma função quadrática: primeiro achamos o domínio em que y>0 e depois determinamos o máximo de y(x).

Passo 2

A área do retângulo é 4x e a área do quadrado de lado tfracx2 é l(tfracx2r)^2. Logo,
y(x) = 4x - x^24

Passo 3

Para achar os x que tornam y>0, resolvemos
4x - x^24 > 0
Multiplicando por 4 (positivo), fica
16x - x^2 > 0 Long<=ftrightarrow x(16 - x) > 0
As raízes são x=0 e x=16, e a parábola abre para baixo, então y>0 quando
0 < x < 16

Passo 4

Para maximizar y(x) = -tfrac14 x^2 + 4x, usamos o vértice da parábola ou derivada. A derivada é
y'(x) = 4 - x2,
que se anula em
4 - x2 = 0 Longrightarrow x = 8
Como o coeficiente de x^2 é -tfrac14<0, esse ponto é de máximo.

Passo 5

Calculamos o valor máximo:
y(8) = 4cdot 8 - 8^24 = 32 - 16 = 16

Resposta

a) 0 < x < 16.\nb) O máximo de y ocorre em x = 8 cm e o valor máximo é ymax = 16 cm^2.

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