(ITA-SP) Sejam A=(aj k) e B=(bj k) duas matrizes quadradas n times n, onde aj k e bj k são, respectivamente, os elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B, definidos por aj k=binomjk, quando j >= k, aj k=binomkj, quando j<k e bj k=sump=0^j k(-2)^pbinomj kP.
O traço de uma matriz quadrada ( cjk ) de ordem n times n é definido por sump=1^n cpp. Quando n for ímpar, o traço de A+B é igual a:
a) n(n-1)3
b) (n-1)(n+1)4
c) (n^2-3 n+2)(n-2)
d) 3(n-1)n
e) (n-1)(n-2)

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
  • Em para ímpar, ou seja

Passo 2

Calcular tr(A). Para a diagonal de A temos j=k, logo
ajj=binomjj=1
Assim
tr(A)=sumj=1^n ajj =sumj=1^n 1 =n

Passo 3

Calcular tr(B). Na diagonal j=k vale
bjj =sump=0^j^2(-2)^pbinomj^2p =(1-2)^,j^2 =(-1)^,j^2
Como j^2 é par se e só se j é par, temos (-1)^j^2=(-1)^j. Então
tr(B) =sumj=1^n(-1)^j
Para n ímpar há tfracn-12 termos +1 e tfracn+12 termos -1, resultando em
sumj=1^n(-1)^j =n-12-n+12 =-1

Passo 4

Somando os traços:
tr(A+B) =tr(A)+tr(B) =n+(-1) =n-1

Passo 5

Na lista de opções, apenas o item (c)
n^2-3n+2,n-2 =(n-1)(n-2),n-2 =n-1
coincide com nosso resultado para nneq2 (e como n é ímpar, n>=3).

Resposta

(c)

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