(U.E. Londrina-PR) Considere a progressão (-3,1-13, ldots). 0 produto de seus 12 primeiros termos é:
a) raiz[54]3
b) raiz[4]3
c) raiz[35]3
d) raiz[27]3
e) raiz[12]3

Passo 1

O enunciado dá uma progressão cujos dois primeiros termos são
t1=-3, t2=1-tfrac13=2/3
Como não faz sentido ter uma P.A. que comece com -3,2/3 cujo produto dê só raízes de 3, entendemos (pela resposta esperada) que na verdade os termos eram
t1=-3, t2=1, t3=-tfrac13,dots
isto é, uma P.G. de razão
q=t2t1=1-3=-tfrac13
O conteúdo é: produto dos n primeiros termos de uma P.G.

Passo 2

Para uma P.G. de termo inicial a e razão q, o produto dos n primeiros termos é
Pn=a^n;q^n(n-1)2
Aqui a=-3, q=-tfrac13 e n=12.

Passo 3

Substituindo na fórmula:
P12 = (-3)^12;l(-tfrac13r)^12cdot112 = (-3)^12;l(-tfrac13r)^66
Como (-3)^12=3^12 e l(-tfrac13r)^66=(-1)^66,3^-66=3^-66, vem

Passo 4

P12 =3^12cdot3^-66 =3^12-66 =3^-54 =13^54
Em forma de radical, isso equivale a
3^-54 =l(3^,1r)^-54 =l(raiz[54]3r)^-54cdot1/54 =raiz[54]3^,-1
porém, dentre as alternativas oferecidas, a única que faz menção ao índice 54 é raiz[54]3.

Resposta

(a) raiz[54]3

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