(UF-SC - Adaptado) Classifique cada uma das proposições adiante como V (verdadeira) ou F (falsa):
a) Se os raios de uma sequência de círculos formam uma P.G. de razão q, então suas áreas também formam uma P.G. de razão q.
b) Uma empresa, que teve no mês de novembro de 2002 uma receita de 300 mil reais e uma despesa de 350 mil reais, tem perspectiva de aumentar mensalmente sua receita segundo uma P.G. de razão 65 e prevê que a despesa mensal crescerá segundo uma P.A. de razão igual a 55 mil. Nesse caso, o primeiro mês em que a receita será maior do que a despesa é fevereiro de 2003.
c) Suponha que um jovem, ao completar 16 anos, pesava 60 kg e, ao completar 17 anos, pesava 64 kg . Se o aumento anual de sua massa, a partir dos 16 anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão 12, então ele nunca atingirá 68 kg .
d) Uma P.A. e uma P.G., ambas crescentes, têm o primeiro e o terceiro termos respectivamente iguais. Sabendo que o segundo termo da P.A. é 5 e o segundo termo da P.G. é 4, a soma dos 10 primeiros termos da P.A. é 155.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada proposição como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar propriedades de progressão geométrica (PG) e aritmética (PA):
  • Em uma PG, cada termo é o anterior multiplicado pela razão q.
  • Em uma PA, cada termo é o anterior somado à razão d.
  • A área de um círculo de raio r é pi r^2.
  • A soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo a1 e razão d é Sn = n2,(2a1+(n-1)d).

Passo 2

Analisando (a): “Se os raios formam uma PG de razão q, então as áreas formam uma PG de razão q.”
Se rn = r1,q^n-1, então
An = pi,rn^2 = pi,(r1)^2,q^2(n-1)
Logo (An) é PG de razão q^2, não de q.

Passo 3

Analisando (b): receita inicial R0=300, despesa E0=350. Mensalmente
Rn = 300l(65r)^n, En = 350 + 55n
Procuramos o menor n tal que Rn>En. Para n=2:
R2=300cdot1,2^2=432, E2=350+110=460, R2<E2
Para n=3:
R3=300cdot1,2^3=518,4, E3=350+165=515, R3>E3
n=3 corresponde a fevereiro de 2003.

Passo 4

Analisando (c): peso aos 16 anos é 60 kg; aos 17, 64 kg, então o primeiro aumento é 4. Se os aumentos anuais formam uma PG de razão tfrac12, os incrementos são
4,;2,;1,;0,5,dots
O peso após n anos é
60 + 4sumk=0^n-1l(tfrac12r)^k =60 + 4cdot1-(tfrac12)^n1-tfrac12 =68 - 8l(tfrac12r)^n
Esse valor tende a 68 kg, mas nunca o atinge exatamente.

Passo 5

Analisando (d): seja a PA com a2=5 e razão d, então a1=5-d. A soma dos 10 primeiros termos é
S10 = 102l((5-d) + [5+8d]r) =5,(10+7d)=50+35d
Se S10=155, vem 35d=105 e d=3, logo a1=2.
Na PG, g2=4 e g3=a1=2. Como g2 = g1q, temos g1=4/q e
g3 = g1 q^2 = 4qq^2 = 4q = 2 ;Longrightarrow; q=tfrac12
Mas tfrac12<1 não faz a PG crescer, contrariando “ambas crescentes”.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) F

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