(ITA-SP) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I. (A-B^C)-C^C=A cap(B cup C);
II. (A-B^C)-C=A cup(B cap C^C)^C;
III. B^C cup C^C=(B cap C)^C, é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I .
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são subconjuntos de um universo U e pede para verificar quais das afirmações abaixo são sempre verdadeiras, usando as operações de união, interseção, complementar (denotado por X^C) e diferença de conjuntos (denotada por Xsetminus Y).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão
Asetminus B^C
Por definição de diferença e complemento temos
Asetminus B^C = Acapl(B^Cr)^C = Acap B

Passo 3

Verifiquemos a afirmação I:
l(Asetminus B^Cr)setminus C^C stackrel(uso do passo 2)=(Acap B)setminus C^C =(Acap B)capl(C^Cr)^C = Acap Bcap C
Do outro lado,
Acap(Bcup C) =(Acap B)cup(Acap C)
Como em geral
Acap Bcap C neq (Acap B)cup(Acap C),
a afirmação I não é sempre verdadeira.

Passo 4

Verifiquemos a afirmação II:
l(Asetminus B^Cr)setminus C stackrel(passo 2)=(Acap B)setminus C =(Acap B)cap C^C = Acap Bcap C^C
Do outro lado,
A;cup;l(Bcap C^Cr)^C = A;cup;l(B^Ccup (C^C)^Cr) = A;cup;(B^Ccup C),
que é uma união, não coincidindo em geral com a interseção Acap Bcap C^C. Logo, a afirmação II também não é sempre verdadeira.

Passo 5

Verifiquemos a afirmação III, que é a lei de De Morgan para dois conjuntos:
B^C;cup;C^C = l(Bcap Cr)^C
Esta identidade é clássica e válida em qualquer universo U, portanto a afirmação III é sempre verdadeira.

Resposta

c) III.

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