JUROS COMPOSTOS Um depósito em certo banco dobra de valor a cada 13 anos. O banco capitaliza os juros continuamente. Qual é a taxa anual de juros oferecida pelo banco?

Passo 1

O enunciado informa que um depósito dobra de valor em cada 13 anos, com capitalização de juros continuamente. O conteúdo aqui é juros compostos contínuos, e vamos precisar da fórmula que relaciona valor futuro A, valor presente P, taxa anual r e tempo t.

Passo 2

Para capitalização contínua a fórmula é
A = P \,e^{r t}.
Como o depósito dobra em 13 anos, temos A = 2P quando t = 13. Substituindo,
2P = P \,e^{r\cdot 13}.

Passo 3

Cancelamos P de ambos os lados e aplicamos o logaritmo natural:
2 = e^{13r} \quad\Longrightarrow\quad \ln 2 = 13\,r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\ln 2}{13}.
Calculando numericamente,
r \approx \frac{0,6931}{13} \approx 0,0533,
ou seja, cerca de 5{,}33\% ao ano.

Resposta

A taxa anual de juros é \displaystyle r = \frac{\ln 2}{13}\approx0{,}0533 (aproximadamente 5{,}33\% ao ano).

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