Se r1, r2, ldots, rm formam um sistemá completo de restos módulo m, mostre que o mesmo se pode dizer de
r1+a, r2+a, ldots, rm+a
para todo a in Z.

Passo 1

O enunciado diz que r1,r2,dots,rm é um sistema completo de restos módulo m. Isso significa duas coisas:
  1. Os ri são todos distintos entre si módulo m, isto é, se ineq j então
rinotequiv rjpmod m
  1. Para todo inteiro N, existe algum ri tal que
Nequiv ripmod m
O que precisamos mostrar é que, dado qualquer ainZ, o conjunto
,r1+a,;r2+a,;dots,;rm+a
também satisfaz essas duas propriedades, e portanto é outro sistema completo de restos módulo m.

Passo 2

(Provar que os elementos são todos distintos módulo m).
Suponha, por absurdo, que para dois índices ineq j tivéssemos
ri+aequiv rj+apmod m
Subtraindo a de ambos os lados, obtemos
riequiv rjpmod m,
o que contradiz a hipótese de que os ri originais são todos distintos módulo m. Logo cada ri+a é incongruente a todo rj+a com jneq i.

Passo 3

(Provar que representam todas as classes módulo m).
Seja N um inteiro qualquer. Como r1,dots,rm é completo, existe algum ri tal que
N - a equiv ripmod m
Adicionando a a ambos os lados, segue
N equiv ri + apmod m
Isto mostra que todo N é congruente a algum elemento do conjunto r1+a,dots,rm+a.

Resposta

Portanto, para qualquer ainZ, o conjunto
r1+a,;r2+a,;dots,;rm+a
é também um sistema completo de restos módulo m.

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