Para todo inteiro n, prove que n(n+1) e n+2 são primos entre si se n é ímpar e mdc(n(n+1), n+2)=2 se n é par.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos
d=gcdl(n(n+1),,n+2r)
e mostrarmos que d=1 quando n é ímpar e d=2 quando n é par. Vamos usar propriedades de divisibilidade e o passo-chave do algoritmo de Euclides: se um número divide dois termos, ele também divide qualquer combinação linear deles.

Passo 2

Seja
d=gcdl(n(n+1),,n+2r)
Como dmid n(n+1) e dmid(n+2), então d divide qualquer combinação linear, em particular
(n+2)-n = 2
Logo
dmid 2

Passo 3

Do fato dmid 2 segue que
din1,2
Portanto o máximo divisor comum só pode ser 1 ou 2.

Passo 4

Caso n seja ímpar, então n+2 também é ímpar. Assim n+2 não é divisível por 2, enquanto n(n+1) é par (produto de ímpar por par). Como o único divisor comum possível é 1 ou 2, e 2 não divide n+2, concluímos
gcdl(n(n+1),,n+2r)=1

Passo 5

Caso n seja par, então n+2 é par e n(n+1) também é par. Portanto tanto n(n+1) quanto n+2 são divisíveis por 2. Como o único divisor comum possível é 1 ou 2, a única opção é
gcdl(n(n+1),,n+2r)=2

Resposta

Para todo inteiro n:
se n é ímpar então gcd(n(n+1),n+2)=1,
e se n é par então gcd(n(n+1),n+2)=2.

Exercícios de Livros Relacionados