Seja
uma função tal que
, para quaisquer
. Prove que: a)
, para todo
c)
, para quaisquer
; d) Dê exemplos de funçōes
para as quais se verifique a condiçāo enunciada.
Passo 1
O enunciado define uma função
que satisfaz
para quaisquer
. Vamos usar essa propriedade de “aditividade” para mostrar:
a) ,
b) ,
c) ,
d) dar exemplos de tais funções.
a)
b)
c)
d) dar exemplos de tais funções.
Passo 2
Para provar
, observe que
Subtraindo
de ambos os lados (isto é, usando o inverso aditivo em
), obtém-se
Passo 3
Agora, para mostrar
, use que
. Aplicando
,
Logo
Passo 4
Vamos provar por indução em
que
Base (
):
, logo
.
Passo indutivo: suponha válido para . Então
Passo indutivo: suponha válido para
Passo 5
Exemplos de funções
que satisfazem
:
Em particular, toda função do tipo
é aditiva.
Resposta
a)
b) para todo
c)
d) Exemplos:
,
e, mais geral,
com
.
b)
c)
d) Exemplos: