Seja f=Z Z uma função tal que f(a+b)=f(a)+f(b), para quaisquer a, b in Z. Prove que: a) f(0)=0 ; b) f(-a)=-f(a), para todo a in Z ; c) f(sumi=1^n ai)=sumi=1^n f(ai), para quaisquer a1, a2, ldots, an in Z
(n >= 1); d) Dê exemplos de funçōes f: Z Z para as quais se verifique a condiçāo enunciada.

Passo 1

O enunciado define uma função fcolon ZtoZ que satisfaz
f(a+b)=f(a)+f(b)
para quaisquer a,binZ. Vamos usar essa propriedade de “aditividade” para mostrar:
a) f(0)=0,
b) f(-a)=-f(a),
c) fl(sumi=1^nair)=sumi=1^nf(ai),
d) dar exemplos de tais funções.

Passo 2

Para provar f(0)=0, observe que
f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)
Subtraindo f(0) de ambos os lados (isto é, usando o inverso aditivo em Z), obtém-se
0=f(0)

Passo 3

Agora, para mostrar f(-a)=-f(a), use que a+(-a)=0. Aplicando f,
f(a)+f(-a)=fl(a+(-a)r)=f(0)=0
Logo
f(-a)=-,f(a)

Passo 4

Vamos provar por indução em n que
fl(sumi=1^nair) =sumi=1^nf(ai)
Base ( n=1):
sumi=1^1ai=a1, logo f(a1)=f(a1).
Passo indutivo: suponha válido para n-1. Então
fl(sumi=1^nair) =fl(l(sumi=1^n-1air)+anr) =fl(sumi=1^n-1air)+f(an) =sumi=1^n-1f(ai)+f(an) =sumi=1^nf(ai)

Passo 5

Exemplos de funções ;fcolonZtoZ que satisfazem f(a+b)=f(a)+f(b):
(i) f(a)=0, (ii) f(a)=a, (iii) f(a)=k,a para algum kinZ
Em particular, toda função do tipo f(a)=k,a é aditiva.

Resposta

a) f(0)=0
b) f(-a)=-f(a) para todo ainZ
c) fl(sumi=1^n air)=sumi=1^n f(ai)
d) Exemplos:
f(a)=0, f(a)=a e, mais geral, f(a)=k,a com kinZ.

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