LUCRO DURANTE A VIDA ÚTIL DE UMA MÁQUINA Suponha que, após t anos de uso, certa máquina industrial gere receita à taxa de R^{\prime}(t)=6.025-8 t^{2} reais por ano e que os custos de operação e manutenção se acumulem à taxa de C^{\prime}(t) =4.681+13 t^{2} reais por ano.
a. A vida útil de uma máquina é o número T de anos durante os quais o lucro gerado pela máquina é crescente. Qual é a vida útil dessa máquina?
b. Calcule a receita líquida gerada pela máquina durante sua vida útil.
c. Plote a curva da taxa de variação da receita y=R^{\prime}(t) e a curva da taxa de variação de custo C^{\prime}(t) e sombreie a região cuja área representa a receita líquida calculada no item (b).

Passo 1

O enunciado fornece as taxas de receita e de custo em função do tempo t (em anos):
R'(t)=6{,}025 - 8t^2,\quad C'(t)=4{,}681 + 13t^2
e pede:
a. determinar o tempo T até o qual o lucro está crescendo;
b. calcular a receita líquida acumulada de t=0 até t=T;
c. plotar as curvas y=R'(t) e y=C'(t) e sombrear a região cuja área é essa receita líquida.
Para resolver, vamos usar:
– o lucro aumenta sempre que sua derivada (a diferença R'(t)-C'(t)) for positiva;
– a receita líquida acumulada é a integral de R'(t)-C'(t) de 0 a T.

Passo 2

Encontrar T tal que R'(t)-C'(t)>0 para 0\le t< T e R'(T)=C'(T).
R'(t)-C'(t)=(6{,}025-8t^2)-(4{,}681+13t^2)=1{,}344-21t^2.
Solve-se
1{,}344-21t^2=0 \;\Longrightarrow\;t^2=\frac{1{,}344}{21}=\frac{8}{125} \;\Longrightarrow\;T=\sqrt{\frac{8}{125}}\,.
Em valor numérico,
T=\sqrt{\frac{8}{125}}\approx0{,}253\text{ anos}.

Passo 3

Calcular a receita líquida acumulada
\int_{0}^{T}\bigl[R'(t)-C'(t)\bigr]\,dt =\int_{0}^{T}\bigl(1{,}344-21t^2\bigr)dt.
Fazendo a integral,
\int(1{,}344-21t^2)dt =1{,}344\,t-7t^3,
logo, de 0 a T,
\bigl[1{,}344\,t-7t^3\bigr]_0^T =1{,}344\,T-7T^3 =\sqrt{\tfrac{8}{125}}\;\Bigl(1{,}344-7\cdot\tfrac{8}{125}\Bigr).
Como 7\cdot\tfrac{8}{125}= \tfrac{56}{125}=0{,}448,
\text{receita líquida} =0{,}896\;\sqrt{\tfrac{8}{125}} \approx0{,}226\text{ reais}.í

Passo 4

Para o gráfico, no plano (t,y):
– desenhe a parábola descendente
y=R'(t)=6{,}025-8t^2
e a parábola ascendente
y=C'(t)=4{,}681+13t^2,
que se interceptam em t=0 e em t=T.
Trace a região entre essas duas curvas para 0\le t\le T; a área dessa região é exatamente
\displaystyle\int_{0}^{T}\bigl[R'(t)-C'(t)\bigr]dt,
isto é, a receita líquida calculada no passo anterior.

Resposta

(a) \displaystyle T=\sqrt{\tfrac{8}{125}}\approx0{,}253 anos.
(b) \displaystyle \int_{0}^{T}\bigl(R'(t)-C'(t)\bigr)dt =0{,}896\sqrt{\tfrac{8}{125}}\approx0{,}226 reais.
(c) No gráfico de y=6{,}025-8t^2 e y=4{,}681+13t^2, sombrear a região entre as duas curvas para 0\le t\le T; sua área é a receita líquida do item (b).

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