LUCRO DURANTE A VIDA ÚTIL DE UMA MÁQUINA Suponha que, após
anos de uso, certa máquina industrial gere receita à taxa de
reais por ano e que os custos de operação e manutenção se acumulem à taxa de
reais por ano.
a. A vida útil de uma máquina é o número
de anos durante os quais o lucro gerado pela máquina é crescente. Qual é a vida útil dessa máquina?
b. Calcule a receita líquida gerada pela máquina durante sua vida útil.
c. Plote a curva da taxa de variação da receita
e a curva da taxa de variação de custo
e sombreie a região cuja área representa a receita líquida calculada no item (b).
a. A vida útil de uma máquina é o número
b. Calcule a receita líquida gerada pela máquina durante sua vida útil.
c. Plote a curva da taxa de variação da receita
Passo 1
O enunciado fornece as taxas de receita e de custo em função do tempo
(em anos):
e pede:
a. determinar o tempo até o qual o lucro está crescendo;
b. calcular a receita líquida acumulada de até
;
c. plotar as curvas e
e sombrear a região cuja área é essa receita líquida.
Para resolver, vamos usar:
– o lucro aumenta sempre que sua derivada (a diferença ) for positiva;
– a receita líquida acumulada é a integral de de 0 a
.
a. determinar o tempo
b. calcular a receita líquida acumulada de
c. plotar as curvas
Para resolver, vamos usar:
– o lucro aumenta sempre que sua derivada (a diferença
– a receita líquida acumulada é a integral de
Passo 2
Encontrar
tal que
para
e
.
Solve-se
Em valor numérico,
Passo 3
Calcular a receita líquida acumulada
Fazendo a integral,
logo, de
a
,
Como
,
Passo 4
Para o gráfico, no plano
:
– desenhe a parábola descendente
– desenhe a parábola descendente
e a parábola ascendente
que se interceptam em
e em
.
Trace a região entre essas duas curvas para ; a área dessa região é exatamente
,
isto é, a receita líquida calculada no passo anterior.
Trace a região entre essas duas curvas para
isto é, a receita líquida calculada no passo anterior.
Resposta
(a)
anos.
(b) reais.
(c) No gráfico de e
, sombrear a região entre as duas curvas para
; sua área é a receita líquida do item (b).
(b)
(c) No gráfico de